0′999… = 1

¿Sabías que0′999… = 1?.

 Veámoslo:

x = 0′999… (1)

10x = 9′999… (2)

Restamos (2) – (1):

9x = 9

Despejando x:

x = 1 (3)

Por (1) y (3):

0′999… = 1

Curioso, ¿verdad?. Aunque nuestra difusa intuición nos lleve a negar tajantemente este resultado, un poco de reflexión bastará para convencernos de que son el mismo número. ¡A pesar de que se escriban de forma diferente!

Una razón muy profunda para desconfíar de la igualdad es la sensación íntima de que 0,999… está muy próximo a 1 pero nunca llega a valer 1. Este argumento sería válido si sólo hubiera un número finito de nueves después de la coma decimal, pero los puntos suspensivos “…” nos indican que éstos no terminan nunca y entonces no puede haber ningún número entre 0,999… y 1. Hay que recordar que entre dos números reales siempre hay infinitos números reales, y obviamente no se puede encontrar ninguno entre 0,999… y 1.

No existe ningún número real X tal que 0,999… < X < 1.

¡Premio para el que lo encuentre!

La razón y la lógica nos gastan bromas pesadas. Nadie se sorprende cuando decimos que 0,5 = 1/2 o que 0,333… = 1/3. Sin embargo la anotación 0,999… ofusca nuestro entender y distorsiona nuestra realidad.

El infinito, es uno de los conceptos matemáticos mas extravagantes que las Matemáticas tienen. Por siglos los matemáticos han debatido sobre el significado del infinito. Gran parte de la historia de las Matemáticas puede verse como una lucha feroz por dominar a la bestia del infinito y desentrañar sus misterios, a riesgo de perderse en sus intrincados caminos y terminar en la zona de la locura, tal  como le paso a Cantor.

Ahondaremos en el mundo del infinito, para descubrir gradualmente sus complejas implicaciones, nos aventuraremos en las profundidades de esta selva lentamente, pero con paso firme.

Realmente 0,999… no es más que una serie de sumas infinitas:

0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ....

0,999... = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (\displaystyle\frac{9}{10^k}).

0,999... = \displaystyle\lim_{n\to\infty} {\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\displaystyle\frac{9}{10^k})} = 9 * \left(\displaystyle\lim_{n\to\infty} {\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\displaystyle\frac{1}{10^k})}\right).

Utilizando nuestros conocimientos de “Sumando que es gerundio”:

0,999... = 1.

Podríamos generalizar este resultado para cualquier número decimal periódico:

0,ppp... = 0,p + 0,0p + 0,00p + 0,000p + ....

0,ppp... = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (\displaystyle\frac{p}{10^k}).

0,ppp... = \displaystyle\lim_{n\to\infty} {\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\displaystyle\frac{p}{10^k})} = p * \left(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\displaystyle\frac{1}{10^k})}\right).

Sabiendo por “Sumando que es gerundio” que:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\displaystyle\frac{1}{10^k}) = \displaystyle\frac{\frac{1}{10} - (\frac{1}{10})^{n+1}}{1 - \frac{1}{10}} = \displaystyle\frac{10}{9} * \left(\displaystyle\frac{1}{10} - (\displaystyle\frac{1}{10})^{n+1}\right).

Tenemos que:

0,ppp... = p * \left(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\displaystyle\frac{1}{10^k})}\right) = p * \displaystyle\lim_{n\to\infty}{\displaystyle\frac{10}{9} * \left(\displaystyle\frac{1}{10} - (\displaystyle\frac{1}{10})^{n+1}\right)}.

0,ppp... = \displaystyle\frac{p}{9} * \displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(1 - (\displaystyle\frac{1}{10})^{n}\right)} = \displaystyle\frac{p}{9}.

Que es la fórmula general para hallar la fracción genetriz de cualquier número periódico puro.

Así:

0,111... = \displaystyle\frac{1}{9}.

0,222... = \displaystyle\frac{2}{9}.

0,888... = \displaystyle\frac{8}{9}.

0,999... = \displaystyle\frac{9}{9}.

Esta curiosidad matemática no sólo ocurre en base 10, ocurre en cualquier otra base:

o,mmm... = 1.

En base m+1

Pregunta: ¿Cuántos matemáticos se necesitan para cambiar un foco?

Respuesta: 0,999999…

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