El hombre que calculaba

Desde la ciudad de “Samarra”, a orillas del Tigris, van a camello el calculista Beremiz Samir y un joven bagdalí camino de Bagdad, para visitar al califa “Al-Motacén”.

Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremiz puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista. Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas: – ¡No puede ser! – ¡Esto es un robo! – ¡No acepto!

El inteligente Beremiz trató de informarse de que se trataba. – Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones? – Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora. Traté en ese momento de intervenir en la conversación: – ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello? – No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremiz-. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar. Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal”, que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos. – Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36. Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló: – Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división. Dirigiéndose al segundo heredero continuó: – Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio. Y dijo, por fin, al más joven: – A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado. Luego continuó diciendo: – Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia. – ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad. El astuto Beremiz –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía: – Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí. Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.

El autor de este texto es el escritor brasileño Julio César de Mello y Souza (bajo el seudónimo de Malba Tahan). Esta historia, escrita en 1.949, se sitúa en un antiguo medio oriente; donde predomina la religión musulmana, describiendo a lo largo de la obra las distintas costumbres que posee la gente de estas lejanas tierras.

El motivo principal de la historia está relacionado con las matemáticas. El protagonista es un matemático y místico persa que usa sus habilidades para resolver los problemas que va encontrando a su paso, asombrar y divertir a la gente, resolver disputas, hacer justicia y, finalmente, ganarse el corazón de una bella princesa (después de todo, todos los hombres somos iguales).

Escrito de una manera atractiva, es interesante tanto por las curiosidades matemáticas que narra y la genialidad de Beremiz como por las tradiciones del pueblo musulmán, nos subyuga lentamente hasta descubrir nuestro amor por esta bella ciencia, la más exacta de todas.

Se puede encontrar otra versión de esta divertida paradoja en el libro de Martin Gardner “¡Ajá paradojas que hacen pensar!”.

Un rico abogado poseía 11 autos antiguos, cada uno de ellos valorado en unos 20.000 euros.

Cuando el abogado murió dejó un curioso testamento. En él pedía que sus 11 coches fuesen repartidos entre sus tres hijos. La mitad de los autos debía ser para el hijo mayor; la cuarta parte, para el mediano, y una sexta parte, para el benjamín.

Todos estaban perplejos. ¿Cómo dividir 11 coches en dos partes iguales? ¿O en cuatro? ¿Y en seis?

Mientras los hijos discutían qué hacer, la señora Cero, famosa especialista en numerología, se acercó a visitarlos en su deportivo nuevo: “¡Hola chavales! Parece que estáis en un apuro. ¿Puedo ayudaros?”.

Cuando los hijos le hubieron explicado la situación, la señora Cero aparcó su deportivo junto a los coches antiguos, y saltó de él. “Decidme, chicos, ¿cuántos coches hay?”. Los muchachos contaron 12.

Entonces la señora Cero dio cumplimiento a las cláusulas del testamento. Dio la mitad de los coches, o sea, seis, al hijo mayor. El mediano se llevó la cuarta parte de 12, es decir, tres. Y el menor, la sexta parte de 12, o sea, dos. “6 más 3 más 2 son exactamente 11. Así que sobra un coche. ¡El mío!”.

La señora Cero subió de un brinco a su auto y se despidió. “¡Me alegro de haberos sido útil! ¡Ya os enviaré la minuta!”.

Tanto el místico Beremiz como la pedante señora Cero dejaron plenamente satisfechos a los tres querellantes. Nuestro astuto matemático persa logró un inesperado lucro de la transacción aunque hemos de reconocer que los calculos de nuestra numeróloga fueron más finos y sutiles. Evidentemente, ambos testamentos fueron falseados y malversados con un vil truco ilusionista donde todo parecido con la realidad es pura coincidencia.

La clave de la resolución de la paradoja reside, es claro y meridiano, en que la suma de las fracciones estipuladas en el testamento original es menor de 1.

(A) \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{51}{54} =\displaystyle\frac{17}{18} < 1.

Obsérvese que 18 es el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 9.

mcm(2,3,9) = 18.

(B) \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{44}{48} =\displaystyle\frac{11}{12} < 1.

Obsérvese que 12 es el mínimo común múltiplo de 2, 4 y 6.

mcm(2,4,6) = 12.

Generalizando:

\displaystyle\frac{1}{a} + \displaystyle\frac{1}{b} + \displaystyle\frac{1}{c} = \displaystyle\frac{bc+ac+ab}{a*b*c} = \displaystyle\frac{\frac{(bc+ac+ab)*m}{a*b*c}}{m} < 1.

mcm(a,b,c) = m.

Si el número de elementos a repartir “N” no es divisible por mcm(a,b,c): ¡Houston, tenemos un problema!

Para poder hacer el reparto tan sólo hay una alternativa: aumentar el número de elementos a repartir hasta un múltiplo de mcm(a,b,c,) mayor o igual que “N”.

n*mcm(a,b,c) = n*m >= N.

n >= \displaystyle\frac{N}{m}.

Y el número de elementos a agregar sería:

n*m – N = x.

Agregando estos “x” elementos ya podemos hacer efectuar el reparto en partes enteras:

\text {Al primero: } \displaystyle\frac{n*m}{a}.

\text {Al segundo: } \displaystyle\frac{n*m}{b}.

\text {Al tercero: } \displaystyle\frac{n*m}{c}.

Efectivamente, los querellantes quedan satisfechos no sólo porque reciben una parte entera de la herencia sino porque además reciben más de lo que les correspondía (pasándose el testamento por donde escuecen los pepinos):

\text{El primero recibe de m\'as: } \displaystyle\frac{n*m}{a} - \displaystyle\frac{N}{a} = \displaystyle\frac{x}{a}.

\text{El segundo recibe de m\'as: } \displaystyle\frac{n*m}{b} - \displaystyle\frac{N}{b} = \displaystyle\frac{x}{b}.

\text{El primero recibe de m\'as: } \displaystyle\frac{n*m}{c} - \displaystyle\frac{N}{c} = \displaystyle\frac{x}{c}.

Tras este reparto veamos cuanto nos sobra:

s = n*m - \displaystyle\frac{n*m}{a} - \displaystyle\frac{n*m}{b} - \displaystyle\frac{n*m}{c} = n*m * (1 - \displaystyle\frac{(bc+ac+bc)}{a*b*c}).

Es ahora cuando corroboramos que la clave está en Rebeca para que el truco funcione. La suma de las fracciones ha de ser menor de 1 para que haya sobrante.

Nos queda un dilema por resolver. Lo que sobra ha de mayor o igual que lo que hemos agregado, ¡si no habremos hecho el canelo!

s >= x.

n*m * (1 - \displaystyle\frac{(bc+ac+bc)}{a*b*c}) >= n*m - N.

N >= n*m * (\displaystyle\frac{bc+ac+bc}{a*b*c}).

n <= \displaystyle\frac{N * a *b *c}{m * (bc+ac+bc)}.

Añadiendo la condición para agregar elementos al reparto, tenemos:

\displaystyle\frac{N}{m} <= n <= \displaystyle\frac{N * a *b *c}{m * (bc+ac+bc)}.

Cuando el calculista Beremiz es informado de la razón por la que discuten los tres hermanos Namir no puede ocultar su gozo ante el buen negocio que se le aproxima.

Rápidamente ha dado con la clave: la suma de las fracciones estipuladas en el testamento es menor que la unidad (0,94…). Aquellos pobres hermanos, cegados por el fragor de la disputa, han perdido su capacidad de raciocinio.

Aprovechándose de su agilidad algebraica, ya sabe que en el reparto sobran casi dos camellos (1,94..) y es momento de aprovechar esta debilidad que el destino le provee.

“n” tiene que ser un entero mayor de 1,94.. y menor de 2,05… : 2. Luego el número ideal de camellos para sacar provecho es 36.

Con estas premisas pone en juego su estratagema, ya sabe que sobraran dos camellos.

La señora Cero es menos egoísta pero más suntuosa. En su caso sólo sobran 0,92 coches, así que es imposible sacar provecho. Eso sí, jugando con los números puede quedar como la reina de la numerología y a ello dedica sus fuerzos.

La suma de las fracciones es menor que la unidad (0,92…) por lo que no corre ningún peligro con la estrategia.

Para ella “n” tiene que estar entre 0,91… y 1, la jugada es forzada pero el truco ilusionista es muy efectivo.

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