Solución al Problema de los Soldados y el Perro

Os muestro la solución al problema del Perro y los Soldados:

Nos encontramos ante un típico problema de cinemática con movimiento rectilíneo uniforme (ya que las velocidades permanecen constantes a los largo del tiempo).

Según el enunciado, tanto los soldados como el perro se mueven con velocidad constante respecto a un sistema de coordenadas de referencia situado en el terreno ( $X_1$ , $Y_1$ ). La velocidad de los soldados la denominaremos por $v_s$ y la velocidad del perro $v_p$ .

La distancia total $D_p$ que recorre el perro es la suma de las distancias parciales que recorre el perro por cada lado del cuadro $d_{pi}$ con $i=1...4$ .

$D_p = \sum_{i=1}^4{}d_{pi}$

De igual modo, el tiempo total $T_p$ empleado por el perro en volver al punto de partida es la suma de los tiempos $t_{pi}$ con $i=1...4$ empleados en recorrer cada lado del cuadro.

$T_p = \sum_{i=1}^4{}t_{pi}$

Este tiempo total $T_p$ será al igual al tiempo empleado por los soldados en recorrer la distancia L = 20 metros.

$T_p=\displaystyle\frac{L}{v_s}=\sum_{i=1}^4{}t_{pi}$

Puesto que la velocidad del perro es constante (aunque desconocida) podemos relacionar por cinemática la distancia, el tiempo y la velocidad de la siguiente manera:

$v_p =\displaystyle\frac {D_p} {T_p}$ .

$v_p =\displaystyle\frac {D_p} {\displaystyle\frac{L}{v_s}}$ .

$\displaystyle\frac{v_p}{v_s}=\displaystyle\frac{D_p}{L}$ .

Cuando el perro se desplaza por el lado del cuadro paralelo a la trayectoria de los soldados y en sentido contrario al avance de los mismos, la distancia que tendrá que recorrer será el lado del pelotón menos la distancia que éste recorre en ese tiempo:

$d_{p1}=v_p*t_{p1}=L-v_s*t_{p1}$

$t_{p1}=\displaystyle\frac{L}{v_p+v_s}$

Análogamente, cuando el perro recorre el lado del cuadrado paralelo a la trayectoria de los soldados y en el mismo sentido de avance de los mismos; la distancia que tendrá que recorrer será el lado del pelotón más la distancia que el pelotón recorre en el mismo tiempo:

$d_{p2}=v_p*t_{p2}=L+v_s*t{p2}$

$t_{p2}=\displaystyle\frac{L}{v_p-v_s}$

Ahora el perro recorre el lado trasero de los soldados. Aquí tenemos un triángulo rectángulo, tal que la hipotenusa la recorre el perro:

$d_{p3}=v_p*t_{p3}=\sqrt{L^2+v_s^2*t_{p3}^2}$ .

$t_{p3}=\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}$ .

Ahora el perro recorre el lado delantero de los soldados. Aquí tenemos, de forma similar al lado trasero, un triángulo rectángulo, tal que la hipotenusa la recorre el perro:

$d_{p4}=v_p*t_{p4}=\sqrt{L^2+v_s^2*t_{p4}^2}$ .

$t_{p4}=\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}$ .

Sustituyendo en la ecuación del tiempo tenemos:

$T_p=\displaystyle\frac{L}{v_s}=\sum_{i=1}^4{}t_{pi}$ .

$\displaystyle\frac{L}{v_s}=\displaystyle\frac{L}{v_p+v_s}+\displaystyle\frac{L}{v_p-v_s}+\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}+\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}$ .

$\displaystyle\frac{1}{v_s}=\displaystyle\frac{1}{v_p+v_s}+\displaystyle\frac{1}{v_p-v_s}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}$ .

Sacando factor común $v_s$ :

$\displaystyle\frac{1}{v_s}=\displaystyle\frac{1}{v_s*(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}+1)}+\displaystyle\frac{1}{v_s*(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}-1)}+\displaystyle\frac{2}{v_s\sqrt{\displaystyle\frac{v_p^2}{v_s^2}-1}}$ .

$1=\displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}+1)}+\displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}-1)}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{\displaystyle\frac{v_p^2}{v_s^2}-1}}$ .

Llamando a $\displaystyle\frac{v_p}{v_s}$ como la variable $x$ nos queda:

$1=\displaystyle\frac{1}{(x+1)}+\displaystyle\frac{1}{(x-1)}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x^2-1}}$ .

Evidentemente está ecuación no tiene solución analítica y debemos de emplear métodos numéricos para obtener el valor el de $x$ .

Utilizaremos WolframAlpha para hallar el resultado de nuestra ecuación.

Obtenemos: x=4,18113.

$D_p=L*\displaystyle\frac{v_p}{v_s}=L*x=20*4,18113=83,6225$ .

Espero vuestros comentarios y espero os haya gustado el problema.

2 respuestas a Solución al Problema de los Soldados y el Perro

Clarice dijo:

11 junio, 2011 en 12:06

¿Y tú quieres que nosotros, unos simples mortales, resolvamos estos problemas?

Responder
- Crosmen dijo:
  
  11 junio, 2011 en 12:15
  
  ¿Q tipo de problemas te gusta resolver? ¿Dónde has encontrado las mayores dificultades? ¿Quieres que aclare algún concepto o fórmula?
  Gracias por haberlo leído y haber intentado comprenderlo.
  
  Responder

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