Solución al Problema de los Soldados y el Perro

Os muestro la solución al problema del Perro y los Soldados:

Nos encontramos ante un típico problema de cinemática con movimiento rectilíneo uniforme (ya que las velocidades permanecen constantes a los largo del tiempo).

Según el enunciado, tanto los soldados como el perro se mueven con velocidad constante respecto a un sistema de coordenadas de referencia situado en el terreno (X_1,Y_1). La velocidad de los soldados la denominaremos por v_s y la velocidad del perro v_p.

La distancia total D_p que recorre el perro es la suma de las distancias parciales que recorre el perro por cada lado del cuadro d_{pi} con i=1...4.

D_p = \sum_{i=1}^4{}d_{pi}

De igual modo, el tiempo total T_p empleado por el perro en volver al punto de partida es la suma de los tiempos t_{pi} con i=1...4 empleados en recorrer cada lado del cuadro.

T_p = \sum_{i=1}^4{}t_{pi}

Este tiempo total T_p será al igual al tiempo empleado por los soldados en recorrer la distancia L = 20 metros.

T_p=\displaystyle\frac{L}{v_s}=\sum_{i=1}^4{}t_{pi}

Puesto que la velocidad del perro es constante (aunque desconocida) podemos relacionar por cinemática la distancia, el tiempo y la velocidad de la siguiente manera:

v_p =\displaystyle\frac {D_p} {T_p}.

v_p =\displaystyle\frac {D_p} {\displaystyle\frac{L}{v_s}}.

\displaystyle\frac{v_p}{v_s}=\displaystyle\frac{D_p}{L}.

Cuando el perro se desplaza por el lado del cuadro paralelo a la trayectoria de los soldados y en sentido contrario al avance de los mismos, la distancia que tendrá que recorrer será el lado del pelotón menos la distancia que éste recorre en ese tiempo:

d_{p1}=v_p*t_{p1}=L-v_s*t_{p1}

t_{p1}=\displaystyle\frac{L}{v_p+v_s}

Análogamente, cuando el perro recorre el lado del cuadrado paralelo a la trayectoria de los soldados y en el mismo sentido de avance de los mismos; la distancia que tendrá que recorrer será el lado del pelotón más la distancia que el pelotón recorre en el mismo tiempo:

d_{p2}=v_p*t_{p2}=L+v_s*t{p2}

t_{p2}=\displaystyle\frac{L}{v_p-v_s}

Ahora el perro recorre el lado trasero de los soldados. Aquí tenemos un triángulo rectángulo, tal que la hipotenusa la recorre el perro:

d_{p3}=v_p*t_{p3}=\sqrt{L^2+v_s^2*t_{p3}^2}.

t_{p3}=\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}.

Ahora el perro recorre el lado delantero de los soldados. Aquí tenemos, de forma similar al lado trasero, un triángulo rectángulo, tal que la hipotenusa la recorre el perro:

d_{p4}=v_p*t_{p4}=\sqrt{L^2+v_s^2*t_{p4}^2}.

t_{p4}=\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}.

Sustituyendo en la ecuación del tiempo tenemos:

T_p=\displaystyle\frac{L}{v_s}=\sum_{i=1}^4{}t_{pi}.

\displaystyle\frac{L}{v_s}=\displaystyle\frac{L}{v_p+v_s}+\displaystyle\frac{L}{v_p-v_s}+\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}+\displaystyle\frac{L}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}.

\displaystyle\frac{1}{v_s}=\displaystyle\frac{1}{v_p+v_s}+\displaystyle\frac{1}{v_p-v_s}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{v_p^2-v_s^2}}.

Sacando factor común v_s:

\displaystyle\frac{1}{v_s}=\displaystyle\frac{1}{v_s*(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}+1)}+\displaystyle\frac{1}{v_s*(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}-1)}+\displaystyle\frac{2}{v_s\sqrt{\displaystyle\frac{v_p^2}{v_s^2}-1}}.

1=\displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}+1)}+\displaystyle\frac{1}{(\displaystyle\frac{v_p}{v_s}-1)}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{\displaystyle\frac{v_p^2}{v_s^2}-1}}.

Llamando a \displaystyle\frac{v_p}{v_s} como la variable x nos queda:

1=\displaystyle\frac{1}{(x+1)}+\displaystyle\frac{1}{(x-1)}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x^2-1}}.

Evidentemente está ecuación no tiene solución analítica y debemos de emplear métodos numéricos para obtener el valor el de x.

Utilizaremos WolframAlpha para hallar el resultado de nuestra ecuación.

Obtenemos: x=4,18113.

D_p=L*\displaystyle\frac{v_p}{v_s}=L*x=20*4,18113=83,6225.

Espero vuestros comentarios y espero os haya gustado el problema.

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2 respuestas a Solución al Problema de los Soldados y el Perro

  1. Clarice dijo:

    ¿Y tú quieres que nosotros, unos simples mortales, resolvamos estos problemas?

    • Crosmen dijo:

      ¿Q tipo de problemas te gusta resolver? ¿Dónde has encontrado las mayores dificultades? ¿Quieres que aclare algún concepto o fórmula?
      Gracias por haberlo leído y haber intentado comprenderlo.

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