El caballo viejo se comió la mitad del follaje tierno

Os muestro la solución al problema de A Caballo viejo follaje tierno:

Nos encontramos ante un bonito problema de geometría y trigonometría. En la siguiente figura hemos representado el problema de manera gráfica:

La circunferencia de centro el punto C y radio R es el terreno circular sembrado de follaje tierno que poseen los dos amigos. El pobre caballo viejo que tiene uno de los amigos está atado con una cuerda en el perímetro de dicha circunferencia, concretamente en el punto D. La longitud de la cuerda a la que está atado el caballo viejo es r. Por tanto, la circunferencia de centro el punto D y radio r es el área que puede abarcar el caballo para obtener su follaje tierno.

La intersección de los dos círculos será, por tanto, el área de follaje tierno al que tiene acceso el caballo (área rallada en nuestra figura).

Este área, que llamaremos $S_1$ , no es más que la suma de dos segmentos circulares cuya cuerda son los puntos A y B. El primer segmento circular corresponde al terreno circular sembrado de follaje tierno $S_2$ y el segundo segmento circular corresponde al área que puede abarcar el caballo $S_3$ . Por tanto:

$S_1 = S_2 + S_3$

El procedimiento para resolver el problema será el siguiente:

Hallar la ecuación de la circunferencia del terreno sembrado de follaje tierno.
Hallar la ecuación de la circunferencia del área abarcada por el caballo.
Hallar la intersección de ambas circunferencias para obtener los puntos A y B.
Calcular el área del segmento circular limitado por la cuerda A-B correspondiente al terreno sembrado.
Calcular el área del segmento circular limitado por la cuerda A-B correspondiente al terreno abarcado por el caballo viejo.
Sumar ambas áreas y obtener el valor de r (longitud de la cuerda) para que el área total sea la mitad del área del terreno sembrado de follaje tierno.

1. Hallar la ecuación de la circunferencia del terreno sembrado de follaje tierno.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante de un punto cualquiera de la circunferencia al centro se llama radio.

$(x-R)^2+y^2=R^2$

2. Hallar la ecuación de la circunferencia del área abarcada por el caballo.

$(x-2R)^2+y^2=r^2$ Esta circunferencia corta al eje X, como se ve en la figura, en los puntos 2R-r y 2R+r.

3. Hallar la intersección de ambas circunferencias para obtener los puntos A y B.

Obtener los puntos del plano que pertenecen a ambas circunferencias:

(A) $(x-R)^2+y^2=R^2$

(B) $(x-2R)^2+y^2=r^2$

(A)-(B) $(x-R)^2-(x-2R)^2=R^2-r^2$

$x^2+R^2-2xR-x^2-4R^2+4xR=R^2-r^2$

$2xR=4R^2-r^2$

$x=2R-\displaystyle\frac{r^2}{2R}$

Sustituyendo x en (B) $\displaystyle\frac{r^4}{4R^2}+y^2=r^2$

$y^2=r^2-\displaystyle\frac{r^4}{4R^2}$

$y=\sqrt{r^2-\displaystyle\frac{r^4}{4R^2}}$

4. Calcular el área del segmento circular limitado por la cuerda A-B correspondiente al terreno sembrado.

Un segmento circular es la porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Área del segmento circular AB = Área del sector circular ACB − Área del triángulo ACB.

Área del triángulo: $A_{triangulo}=\displaystyle\frac{1}{2}*Base*Altura$

$Base=2*y_A=2*\sqrt{r^2-\displaystyle\frac{r^4}{4R^2}}$

$Altura=x_A-R=2R-\displaystyle\frac{r^2}{2R}-R=R-\displaystyle\frac{r^2}{2R}$

$A_{ACB}=\displaystyle\frac{1}{2}*Base*Altura=\displaystyle\frac{1}{2}*2*\sqrt{r^2-\displaystyle\frac{r^4}{4R^2}}*(R-\displaystyle\frac{r^2}{2R})$

Área del sector circular: $A_{sector}=\displaystyle\frac{\pi{R^2}\alpha}{2\pi}$

Área del segmento circular:

$A_{segmento1}=\displaystyle\frac{{R^2}\alpha}{2}-r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*(R-\displaystyle\frac{r^2}{2R})$ .

$A_{segmento1}=\displaystyle\frac{R^2}{2}*(\alpha-\sin{\alpha})$ .

donde

$\cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{x_A-R}{R}=\displaystyle\frac{R-\displaystyle\frac{r^2}{2R}}{R}=1-\displaystyle\frac{r^2}{2R^2}$ .

$\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\arccos({1-\displaystyle\frac{r^2}{2R^2}})$ .

5. Calcular el área del segmento circular limitado por la cuerda A-B correspondiente al terreno abarcado por el caballo viejo.

Área del segmento circular AB = Área del sector circular ADB − Área del triángulo ADB.

Área del triángulo: $A_{triangulo}=\displaystyle\frac{1}{2}*Base*Altura$

$Base=2*y_A=2*\sqrt{r^2-\displaystyle\frac{r^4}{4R^2}}\\ \\ Altura=2R-x_A=\displaystyle\frac{r^2}{2R}\\\\A_{ADB}=\displaystyle\frac{1}{2}*Base*Altura=r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*(\displaystyle\frac{r^2}{2R})\\\\$ .

Área del sector circular: $A_{sector}=\displaystyle\frac{\pi{r^2}\beta}{2\pi}$ .

Área del segmento circular:

$A_{segmento2}=\displaystyle\frac{\pi{r^2}\beta}{2\pi}-r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*(\displaystyle\frac{r^2}{2R})$ .

$A_{segmento1}=\displaystyle\frac{r^2}{2}*(\beta-\sin{\beta})$ .

donde

$\cos\displaystyle\frac{\beta}{2}=\displaystyle\frac{2R-x_A}{r}=\displaystyle\frac{r}{2R} \\ \\ \displaystyle\frac{\beta}{2}=\arccos(\displaystyle\frac{r}{2R})$ .

6. Sumar ambas áreas y obtener el valor de r (longitud de la cuerda) para que el área total sea la mitad del área del terreno sembrado de follaje tierno.

$A_{TOTAL}=A_{segmento1}+A_{segmento2}$ .

$A_{TOTAL}=\displaystyle\frac{{R^2}\alpha}{2}-r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*(R-\displaystyle\frac{r^2}{2R})-r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*(\displaystyle\frac{r^2}{2R})+\displaystyle\frac{{r^2}\beta}{2}$ .

$\displaystyle\frac{\pi{R^2}}{2}=\displaystyle\frac{{R^2}\alpha}{2}-r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*(R-\displaystyle\frac{r^2}{2R})-r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*(\displaystyle\frac{r^2}{2R})+\displaystyle\frac{{r^2}\beta}{2}$ .

$\displaystyle\frac{\pi{R^2}}{2}=\displaystyle\frac{{R^2}\alpha}{2}-r\sqrt{1-\displaystyle\frac{r^2}{4R^2}}*R+\displaystyle\frac{{r^2}\beta}{2}$ .

Evidentemente está ecuación no tiene solución analítica y debemos de emplear métodos numéricos para obtener el valor el de r.

Utilizaremos WolframAlpha para hallar el resultado de nuestra ecuación.

Para R= 1 obtenemos: r=1,15873.

2 respuestas a El caballo viejo se comió la mitad del follaje tierno

Clarice dijo:

11 junio, 2011 en 20:38

Otra solución igual de bonita y fácil que la anterior.

Responder
- Crosmen dijo:
  
  11 junio, 2011 en 22:05
  
  Voy a crear en el blog un apartado de fórmulas para que la gente pueda guiarse.
  
  Responder

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