Solución al Cuadrado con Círculos

Publicado el 19 junio, 2011 por Crosmen

Solución al problema del Cuadrado con Círculos.

Representemos gráficamente nuestro problema para que la solución sea más intuitiva. Observamos que el área que queremos calcular (coloreada de rojo) es la diferencia entre el área del cuadrado que une los centros de las circunferencias y cuatro sectores circulares (coloreados de amarillo, verde, marrón y azul).

El área del cuadrado interior es M^2.

El área de cada sector circular (obsérvese que su ángulo es \displaystyle\frac{\pi}{2}) es \displaystyle\frac{\pi*R^2}{4}.

Procederemos de la siguiente forma:

  1. Calcularemos los valores de M y R en función de L que es el dato del problema.
  2. Calcularemos el área que nos piden como A=M^2-4*\displaystyle\frac{\pi*R^2}{4}=M^2-\pi*R^2.

1. Calcularemos los valores de M y R en función de L que es el dato del problema.

Ya sabemos que M=2R.

Por otro lado, llamando x a la mitad de la diagonal del cuadrado interior obtenemos que:

(A) L=R+x+x+R=2R+2x.

Y aplicando el Teorema de Pitágoras a uno de los cuatro triángulos rectángulos que componen el cuadrado interior:

(B) (2R)^2=x^2+x^2=2x^2.

Despejando de (A) x=\displaystyle\frac{L}{2}-R.

Sustituyendo en (B) (2R)^2=2*(\displaystyle\frac{L}{2}-R)^2.

4R^2=2*(\displaystyle\frac{L^2}{4}+R^2-LR).

2R^2+2LR-\displaystyle\frac{L^2}{2}=0.

Ecuación de segundo grado que tiene como primera solución:

R=\displaystyle\frac{-2L+\sqrt{4L^2+4L^2}}{4}.

R=\displaystyle\frac{-2L+2\sqrt2*L}{4}.

R=\displaystyle\frac{\sqrt2L-L}{2}.

Y como segunda solución:

R=\displaystyle\frac{-2L-\sqrt{4L^2+4L^2}}{4}.

R=\displaystyle\frac{-2L-2\sqrt2*L}{4}.

R=\displaystyle\frac{-\sqrt2L-L}{2}.

Descartamos la segunda solución por dar un valor de R negativo.

2. Calcularemos el área que nos piden como A=M^2-4*\displaystyle\frac{\pi*R^2}{4}=M^2-\pi*R^2.

A=4R^2-\pi*R^2=(4-\pi)R^2=(4-\pi)(\displaystyle\frac{\sqrt2L-L}{2})^2.

Sustituyendo L por su valor (2 m):

A=4R^2-\pi*R^2=(4-\pi)R^2=(4-\pi)(\displaystyle\frac{2\sqrt2-2}{2})^2=(4-\pi)(\sqrt2-1)^2.

Utilizando WolfamAlpha:

A=0,1472 * m^2.

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