El reparto de los discos

Nuestro desprendido y dadivoso Pedro repartió toda su colección de discos entre sus amigos.

Pedro tenía “m” discos de vinilo y “n” amigos.

El reparto lo tuvo que realizar de la siguiente de la manera:

Al primer amigo le dio:

a_1 = 1 + \displaystyle\frac{(m - 1)}{7}.

Al segundo amigo le dio:

a_2 = 2 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - 2)}{7} = 1 + 1 + \displaystyle\frac{(m - 1)}{7} - \displaystyle\frac{(a_1 + 1)}{7} = (1 + a_1) - \displaystyle\frac{(a_1 + 1)}{7}.

a_2 = \displaystyle\frac{6 * (a_1 + 1)}{7}.

Al tercer amigo le dio:

a_3 = 3 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - a_2 - 3)}{7} = \displaystyle\frac{6 * (a_2 + 1)}{7}.

a_3 = \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 * (a_1 + 1) + \displaystyle\frac{6}{7}.

Al cuarto amigo le dio:

a_4 = 4 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - a_2 - a_3 - 4)}{7} = \displaystyle\frac{6*(a_3 + 1)}{7}.

a_4 = \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^3 * (a_1 + 1) + \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 + \displaystyle\frac{6}{7}.

Al quinto amigo le dio:

a_5 = 5 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - a_2 - a_3 - a_4 - 5)}{7} = \displaystyle\frac{6 * (a_4 + 1)}{7}.

a_5 = \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^4 * (a_1 + 1) + \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^3 + \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 + \displaystyle\frac{6}{7}.

Generalizando para i = 2, … , n:

\text{Sea } r = \displaystyle\frac{6}{7}.

a_i = r * (a_{i-1} + 1) = r^{i-1} (a_1 + 1) + \displaystyle\sum_{k=1}^{i-2} r^k.

Sabiendo que:

\displaystyle\sum_{k=1}^{i-2} r^k = \displaystyle\frac{r - r^{i-1}}{1 - r}.

Tenemos:

a_i = r^{i-1} (a_1 + 1) + \displaystyle\frac{r - r^{i-1}}{1 - r}.

Sabemos que la suma total de los discos repartidos tiene que ser igual a “m”:

m = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_i = a_1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{n} a_i.

m = a_1 + \displaystyle\sum_{k=2}^n \left(r^{i-1} (a_1 + 1) + \displaystyle\frac{r - r^{i-1}}{1 - r}\right).

m = a_1 + (a_1 + 1) \displaystyle\sum_{k=2}^n (r^{i-1}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n (r - r^{i-1}).

m = a_1 + (a_1 + 1) \displaystyle\sum_{k=2}^n (r^{i-1}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r - (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r^{i-1}.

Sabiendo que:

\displaystyle\sum_{k=2}^n r = (n - 1) r.

\displaystyle\sum_{k=2}^n r^{i-1} = \displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}.

Obtenemos:

m = a_1 + (a_1 + 1) \displaystyle\sum_{k=2}^n (r^{i-1}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r - (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r^{i-1}.

m = a_1 + (a_1 + 1) (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * ((n - 1) r) - (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}).

m = (1 + \displaystyle\frac{m - 1}{7}) + (2 + \displaystyle\frac{m - 1}{7}) (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * ((n - 1) * r) - (\displaystyle\frac{r - r^n}{(1 - r)^2}).

Utilizando Wolfram Alpha:

m = 0, n = 0;

m = 36, n = 6;

Nuestro querido Pedro la verdad es que no tenía muchos discos, ni tampoco muchos amigos.

El problema se podría generalizar para una fracción cualquiera “f” (en vez de 7), y el resultado sería el siguiente;

m = (1 + \displaystyle\frac{m - 1}{f}) + (2 + \displaystyle\frac{m - 1}{f}) (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * ((n - 1) * r) - (\displaystyle\frac{r - r^n}{(1 - r)^2}).

Donde:

r = \displaystyle\frac{f - 1}{f}.

Utilizando Wolfram Alpha:

m = (f - 1)^2.

n = f - 1.

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Una respuesta a El reparto de los discos

  1. Hola
    Gracias por avisarme de la soluciona, aunque ya de antemano ya la conocía XD

    Sabia que estaba relacionado con las series o progresiones, pero nunca pude plantearlo de manera sencilla.

    Aunque no pensé que los cálculos fueran un tanto complejos.

    Gracias.

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