El reparto de los discos

Nuestro desprendido y dadivoso Pedro repartió toda su colección de discos entre sus amigos.

Pedro tenía «m» discos de vinilo y «n» amigos.

El reparto lo tuvo que realizar de la siguiente de la manera:

Al primer amigo le dio:

$a_1 = 1 + \displaystyle\frac{(m - 1)}{7}$ .

Al segundo amigo le dio:

$a_2 = 2 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - 2)}{7} = 1 + 1 + \displaystyle\frac{(m - 1)}{7} - \displaystyle\frac{(a_1 + 1)}{7} = (1 + a_1) - \displaystyle\frac{(a_1 + 1)}{7}$ .

$a_2 = \displaystyle\frac{6 * (a_1 + 1)}{7}$ .

Al tercer amigo le dio:

$a_3 = 3 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - a_2 - 3)}{7} = \displaystyle\frac{6 * (a_2 + 1)}{7}$ .

$a_3 = \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 * (a_1 + 1) + \displaystyle\frac{6}{7}$ .

Al cuarto amigo le dio:

$a_4 = 4 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - a_2 - a_3 - 4)}{7} = \displaystyle\frac{6*(a_3 + 1)}{7}$ .

$a_4 = \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^3 * (a_1 + 1) + \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 + \displaystyle\frac{6}{7}$ .

Al quinto amigo le dio:

$a_5 = 5 + \displaystyle\frac{(m - a_1 - a_2 - a_3 - a_4 - 5)}{7} = \displaystyle\frac{6 * (a_4 + 1)}{7}$ .

$a_5 = \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^4 * (a_1 + 1) + \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^3 + \left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 + \displaystyle\frac{6}{7}$ .

Generalizando para i = 2, … , n:

$\text{Sea } r = \displaystyle\frac{6}{7}$ .

$a_i = r * (a_{i-1} + 1) = r^{i-1} (a_1 + 1) + \displaystyle\sum_{k=1}^{i-2} r^k$ .

Sabiendo que:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{i-2} r^k = \displaystyle\frac{r - r^{i-1}}{1 - r}$ .

Tenemos:

$a_i = r^{i-1} (a_1 + 1) + \displaystyle\frac{r - r^{i-1}}{1 - r}$ .

Sabemos que la suma total de los discos repartidos tiene que ser igual a «m»:

$m = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_i = a_1 + \displaystyle\sum_{k=2}^{n} a_i$ .

$m = a_1 + \displaystyle\sum_{k=2}^n \left(r^{i-1} (a_1 + 1) + \displaystyle\frac{r - r^{i-1}}{1 - r}\right)$ .

$m = a_1 + (a_1 + 1) \displaystyle\sum_{k=2}^n (r^{i-1}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n (r - r^{i-1})$ .

$m = a_1 + (a_1 + 1) \displaystyle\sum_{k=2}^n (r^{i-1}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r - (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r^{i-1}$ .

Sabiendo que:

$\displaystyle\sum_{k=2}^n r = (n - 1) r$ .

$\displaystyle\sum_{k=2}^n r^{i-1} = \displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}$ .

Obtenemos:

$m = a_1 + (a_1 + 1) \displaystyle\sum_{k=2}^n (r^{i-1}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r - (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * \displaystyle\sum_{k=2}^n r^{i-1}$ .

$m = a_1 + (a_1 + 1) (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * ((n - 1) r) - (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r})$ .

$m = (1 + \displaystyle\frac{m - 1}{7}) + (2 + \displaystyle\frac{m - 1}{7}) (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * ((n - 1) * r) - (\displaystyle\frac{r - r^n}{(1 - r)^2})$ .

Utilizando Wolfram Alpha:

m = 0, n = 0;

m = 36, n = 6;

Nuestro querido Pedro la verdad es que no tenía muchos discos, ni tampoco muchos amigos.

El problema se podría generalizar para una fracción cualquiera «f» (en vez de 7), y el resultado sería el siguiente;

$m = (1 + \displaystyle\frac{m - 1}{f}) + (2 + \displaystyle\frac{m - 1}{f}) (\displaystyle\frac{r - r^n}{1 - r}) + (\displaystyle\frac{1}{1 - r}) * ((n - 1) * r) - (\displaystyle\frac{r - r^n}{(1 - r)^2})$ .

Donde:

$r = \displaystyle\frac{f - 1}{f}$ .

Utilizando Wolfram Alpha:

$m = (f - 1)^2$ .

$n = f - 1$ .

Una respuesta a El reparto de los discos

Rubén Salgado Barragán dijo:

26 marzo, 2012 en 0:16

Hola
Gracias por avisarme de la soluciona, aunque ya de antemano ya la conocía XD

Sabia que estaba relacionado con las series o progresiones, pero nunca pude plantearlo de manera sencilla.

Aunque no pensé que los cálculos fueran un tanto complejos.

Gracias.

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