Encontrar un número de cuatro cifras de la forma «aabb» que sea cuadrado perfecto.

Nuestro número puede representarse de la siguiente forma:

aabb = 1.000 * a + 100 * a + 10 * b + b.

aabb = 1.100 * a + 11 * b = n^2.

Con 0 <= a, b <= 9
n, a y b en N

11 * ( 100 * a + b ) = n^2.

( 100 * a + b ) = ( n^2 ) / 11.

Para que ( n^2) sea entero, n debe de ser múltiplo de 11: n = 11 * m, con m en N.

( 100 * a + b ) = ( n^2 ) / 11 = ( 11 * m * 11 * m ) / 11 = 11 * m^2.

100 * a + b = 11 * m^2.

( 100 * a + b ) / 11 = ( 99 * a + a + b ) / 11 = 9 * a + ( a + b ) / 11 = m^2.

( a + b ) es divisible por 11 ==> ( a + b ) = 0 ó ( a + b ) = 11.

Descartando la solución trivial, a = y b = 0, Con 0 <= a, b <= 9,  n, a y b en N:

( a + b ) = 11.

9 * a + ( a + b ) / 11 = 9 * a + 1 = m^2.

Utilizando Wólfram Alpha:

a = 9 * n^2 – 16 * n + 7

m = 8 – 9 * n

con n en N.

Para n = 0:

a = 7 y m = 8.

Luego m^2 = 64 y b = 4 ( a + b = 11 ).

Así, la única solución (a parte de la trivial 0000 = 0^2) es:

7744 = 88^2