Sumando que es gerundio

¿Sabemos sumar? Lo envidiable de los números es que no saben mentir. Somos nosotros quienes hemos dejado de ser fluidos en nuestro pensamiento aritmético gracias a la disponibilidad de las calculadoras, computadoras y cientos de otros juguetitos, artefactos y cachibaches que los carga el diablo. Dejar la calculadora atrás (por un tiempo) definitivamente ayudará a fortalecer nuestra capacidad de razonamiento matemático; todavía más vil y ruin (representación de nuestro anquilosado cerebro) es utilizar la odiosa calculadora para interminables sumas de números. La mayoría de las series de números tienen una representación analítica que elimina el tedioso trabajo de sumar uno a uno cada termino de la interminable suma.

Las sucesiones están por todas partes, invaden el espacio, la prensa llena sus informativos con ellas, algunas son gratas y otras nos llegan hasta atormentar. La simple enumeración de las páginas de un periódico es un pedazo de sucesión, como también el valor diario del euro o del dolar son términos específicos de algunas de estas secuencias numéricas. ¡Qué decir de nuestro ingreso mensual!, o de las distintas sucesiones (dividendos, factura del agua, matrícula universitaria,…) que representan nuestras obligaciones económicas periódicas. Existen muchos aspectos y problemáticas de interés relativas a las sucesiones, así que aprendamos a sumarlas.

Vamos a por ellas.

Comencemos por la serie más sencilla:

$S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n 1 = 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 = n$ .

Sumar «n» veces 1, da «n». Para este viaje hacían falta pocas alforjas.

Si en vez de sumar 1, sumamos otro número cualquiera «p», ¿qué pasaría? Se admiten apuestas.

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n p = p + p + p + \ldots + p = p * (1 + 1 + 1 + \ldots + 1) = p * \sum_{k=1}^n 1 = p*n$ .

Progresamos adecuadamente, ya sabemos dos cositas más:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n 1 = n$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n p = p*n$ .

¿Qué pasaría si en vez de sumar desde k = 1, sumamos desde k = m? Veámoslo:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n 1 = \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} 1 + \displaystyle\sum_{k=m}^n 1$ .

$\displaystyle\sum_{k=m}^n 1 = \displaystyle\sum_{k=1}^n 1 - \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} 1 = n - (m - 1) = n - m + 1$ .

Repitiéndolo para un número cualquiera «p»:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n p = \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} p + \displaystyle\sum_{k=m}^{n} p$ .

$\displaystyle\sum_{k=m}^n p = \displaystyle\sum_{k=1}^n p - \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} p = n*p - (m-1)*p = (n - m +1)*p$ .

Ya tenemos otras dos cositas más para el baúl de la sapiencia:

$\displaystyle\sum_{k=m}^n 1 = n - m + 1$ .

$\displaystyle\sum_{k=m}^n p = (n - m + 1)*p$ .

Sumemos ahora los «n» primeros números naturales:

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$ .

(A) $S_n = 1 + 2 +3 + \ldots + (n-2) + (n-1) + n$ .

(B) $S_n = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 3 + 2 + 1$ .

(A)+(B) $2*S_n = (1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\ldots+(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)$ .

(A)+(B) $2*S_n = (n+1) + (n+1) + (n+1) + \ldots + (n+1) + (n+1) + (n+1)$ .

$2*S_n = n* (n+1)$ .

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k = \displaystyle\frac{n*(n+1)}{2}$ .

¡Esto si que es un descubrimiento, vamos avanzando! Otra cosita más para la buchaca.

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \displaystyle\frac{n*(n+1)}{2}$ .

Y si sólo sumamos los números naturales del «m» al «n», ¿qué?

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} k + \displaystyle\sum_{k=m}^n k$ .

$\displaystyle\sum_{k=m}^n k = \displaystyle\sum_{k=1}^n k - \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} k = \displaystyle\frac{n*(n+1)}{2} - \displaystyle\frac{m*(m-1)}{2}$ .

$\displaystyle\sum_{k=m}^n k = m + (m+1) + (m+2) + \ldots + (n-2) + (n-1) +n$ .

Si sumamos y restamos «m*n» al numerador de nuestra expresión, nos quedará:

$\displaystyle\sum_{k=m}^n k = \displaystyle\frac{n^2+n-m^2+m-m*n+m*n}{2}=\displaystyle\frac{(m+n)*(n-m+1)}{2}$ .

Obsérvese que:

(m+n) = suma de los extremos de la serie.

(n-m+1) = número de terminos de la serie.

Corolario: Para toda serie aritmética, la suma de sus terminos es igual al semi-producto del número de terminos de la serie por la suma de sus extremos.

Añadimos una nueva formulita a nuestro catón:

$\displaystyle\sum_{k=m}^n k = \displaystyle\frac{(m+n)+(n-m+1)}{2}$ .

Ahora que sabemos sumar los números naturales, podemos intentar hallar la suma de los «n» primeros números naturales pares:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n (2k) = 2\displaystyle\sum_{k=1}^n k = n*(n+1)$ . Fácil, ¿verdad?.

¿Nos atrevemos con los impares?

$\displaystyle\sum_{k=1}^n (2k-1) = 2\displaystyle\sum_{k=1}^n k - \displaystyle\sum_{k=1}^n 1 = n*(n+1) - n = n^2$ .

Curioso resultado, nos sale un cuadrado perfecto.

Ya estamos en condiciones de generalizar los resultados para una serie aritmética cualquiera:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n (ak+b)$ .

Nº de términos: n

Suma de los extremos: a + b + a*n + b = a*(n + 1) + 2b

$\displaystyle\sum_{k=1}^n (ak+b) = \displaystyle\frac{a*n*(n+1+\frac{2b}{a})}{2}$ .

Podemos comprobar que el corolario es cierto utilizando el desarrollo tradicional:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n (ak+b) = a*\displaystyle\sum_{k=1}^n k + \displaystyle\sum_{k=1}^n b = \displaystyle\frac{a*n*(n+1)}{2}+b*n$ .

¡Qué bonito nos está queando to!

Veamos ahora algunas cositas guaysss de las series de números. La más guay de todas es la llamada propiedad telescópica (no poned esa cara que yo también me he asustado):

Sea la sucesión de números: $a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n$ .

(A) $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+ \ldots+a_n$ .

(B) $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{k+1} = a_2+a_3+a_4+ \ldots+a_{n+1}$ .

(B)-(A) $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{k+1} - \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \displaystyle\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k) = a_{n+1}-a_1$ .

¡A qué es verdaderamente impresionante esta propiedad que acabamos de descubrir!

¿Pasamos a los cuadrados? Vamos:

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ .

(A) $(k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$ .

=> $3k^2 = (k + 1)^3 - k^3 -3k -1$ .

=> $k^2 = \displaystyle\frac{(k + 1)^3 - k^3 -3k -1}{3}$ .

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k + 1)^3 - k^3 -3k -1\right)$ .

$S_n = \displaystyle\frac{1}{3} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k + 1)^3 - k^3\right) - 3\displaystyle\sum_{k=1}^n k - \displaystyle\sum_{k=1}^n 1\right)$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n 1 = n$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \displaystyle\frac{n*(n + 1)}{2}$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k + 1)^3 - k^3\right) = (n + 1)^3 - 1$ ¡¡¡¡Propiedad Telescópica!!!!.

$S_n = \displaystyle\frac{1}{3} \left((n + 1)^3 - 1 - \displaystyle\frac{3n*(n + 1)}{2} -n\right) = \displaystyle\frac{n*(n + 1)*(2n + 1)}{6}$ .

Ni los cuadrados pueden con nosotros, otra formulita más para el saco:

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2= \displaystyle\frac{n*(n + 1)*(2n + 1)}{6}$ .

¿Una de cubos? Vamos a echarla:

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+3^3+ \ldots + n^3$ .

(A) $(k + 1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$ .

=> $4k^3 = (k + 1)^4 - k^4 -6k^2 - 4k - 1$ .

=> $k^3 = \displaystyle\frac{(k + 1)^4 - k^4 -6k^2 - 4k - 1}{4}$ .

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k + 1)^4 - k^4 -6k^2 - 4k - 1\right)$ .

$S_n = \displaystyle\frac{1}{4}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k + 1)^4 - k^4\right) - 6\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 - 4\displaystyle\sum_{k=1}^n k - \displaystyle\sum_{k=1}^n 1\right)$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n 1 = n$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \displaystyle\frac{n*(n+1)}{2}$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \displaystyle\frac{n*(n + 1)*(2n + 1)}{6}$ .

$\displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k + 1)^4 - k^4\right) = (n+1)^4 - 1$ ¡¡¡¡Propiedad Telescópica!!!!.

$S_n = \displaystyle\frac{1}{4}\left((n+1)^4 - 1 - \displaystyle\frac{6n*(n + 1)*(2n + 1)}{6} - \displaystyle\frac{4n*(n+1)}{2} - n\right) = \left(\displaystyle\frac{n*(n+1)}{2}\right)^2$ .

Y el cubo también fue domesticado:

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\displaystyle\frac{n*(n+1)}{2}\right)^2$ .

¡Pero qué ven mis ojos! ¿No os recuerda a algo esas expresiones?

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\displaystyle\frac{n*(n+1)}{2}\right)^2 = \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n k\right)^2$ .

¿Qué tal andamos de geometría? Vayamos a por las progresiones geométricas:

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n r^k = r + r^2 + r^3 + \ldots + r^n$ .

(A) $S_n = r + r^2 + r^3 + \ldots + r^n$ .

(B) $r*S_n = r^2 + r^3 + r^4 + \ldots + r^{n+1}$ .

(A) – (B) $S_n - r*S_n = r - r^{n+1}$ .

=> $S_n*(1 - r) = r - r^{n+1}$ .

=> $S_n = \displaystyle\frac{r - r^{n+1}}{1 - r}$ .

¡Vaya! No era tan fiero el león como el lopintan:

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n r^k = \displaystyle\frac{r - r^{n+1}}{1 - r}$ .

Calcular esta suma entre cualquier par de números «m» y «n», no tiene secretos para nosotros:

$S_n = \displaystyle\sum_{k=m}^n r^k = r^m + r^{m + 1} + \ldots + r^n$ .

$\displaystyle\sum_{k=m}^n r^k = \displaystyle\sum_{k=1}^n r^k - \displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} r^k = \displaystyle\frac{r - r^{n+1}}{1 - r} - \displaystyle\frac{r - r^m}{1 - r} = \displaystyle\frac{r^m - r^{n + 1}}{1 - r}$ .

¿Hacemos algunas prácticas?

(1) $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\frac{1}{k*(k + 1)}$ .

=> $\displaystyle\frac{1}{k*(k + 1)} = \displaystyle\frac{1}{k} - \displaystyle\frac{1}{k + 1}$ .

=> $\displaystyle\sum_{k=1}^n \displaystyle\frac{1}{k*(k + 1)} = \displaystyle\sum_{k=1}^n (\displaystyle\frac{1}{k} - \displaystyle\frac{1}{k + 1}) = 1 - \displaystyle\frac{1}{n + 1}$ ¡Propiedad Telescópica!.

(2) $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (k * k!)$ .

=> $(k + 1)! = (k + 1)*k! = k*k! + k!$ .

=> $k*k! = (k + 1)! - k!$ .

=> $\displaystyle\sum_{k=1}^n (k*k!) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k + 1)! - k!\right) = (n + 1)! - 1$ ¡Propiedad Telescópica!.

(3) Había una vez un rey que frente a la negativa del joven (inventor del ajedrez) de pedir recompensa comenta: «Me causa asombro tanto desamor y desdén por las cosas materiales,…Para que el hombre pueda vencer los múltiples obstáculos que le depara la vida, precisa tener el espíritu sujeto a una ambición que lo impulse hacia un ideal cualquiera. Exijo, (pidas)…una recompensa digna de tu valioso regalo«. A lo que el joven inventor responde: «No admitir vuestro ofrecimiento…, más que descortesía sería desobediencia… Voy, pues, a aceptar…, una recompensa que corresponda a vuestra generosidad; no deseo,… ni oro, ni tierras, ni palacios. Deseo mi recompensa en granos de trigo. …Dadme un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así duplicando sucesivamente hasta la sexagésima cuarta y última casilla del tablero«. El rey y su corte se rieron estrepitosamente por la falta de ambición. Reiría usted también?

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{64} 2^{k-1} = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{63}$ .

=> $2^{k-1} = \displaystyle\frac{2^k}{2}$ .

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{64} 2^{k-1} = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{64} 2^k = \displaystyle\frac{1}{2} * \displaystyle\frac{2 - 2^{65}}{1 - 2} = 2^{64} - 1 = 18.446.744.073.709.551.615$ .

Como dijeron los hombres del rey: «La India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, …, debe entregarse al joven…«.

(4) $0,\widehat{9} = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (\displaystyle\frac{9}{10^k})= 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...$ .

$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (\displaystyle\frac{9}{10^k}) = 9\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (\displaystyle\frac{1}{10})^k = 9*\lim_{n\to\infty}{\displaystyle\frac{\frac{1}{10} - \left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{10}}} = 9 * \displaystyle\frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = 1$ ¡¡¡Ohhhhhh!!!!.

(5) $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^4 = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ .

(6) $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5 = \displaystyle\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$ .

(7) $\displaystyle\sum_{k=1}^n k^5 = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$ .

(8) $S_n = 1 + 11 + 111 + 1111 + \ldots$ .

=> $\displaystyle\sum_{k=1}^n (\displaystyle\frac{10^k-1}{9})=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\sum_{k=1}^n 10^k-\displaystyle\sum_{k=1}^n 1\right)=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\frac{10-10^{n+1}}{1-10}-n\right)$ .

=> $\displaystyle\sum_{k=1}^n (\displaystyle\frac{10^k-1}{9})=\displaystyle\frac{1}{81}(10^n-9n-10)$ .

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