Multiplicando que es gerundio

Ya sabemos sumar pero… ¿sabemos multiplicar?

El operador productoria no es muy conocido o mejor dicho no está muy divulgado, tal vez sea porque nuestras acomodadas neuronas prefieren la comodidad de un largo sin vivir de sumandos y más sumandos a establecer relaciones eficaces de cálculo productivo. Su utilidad es incuantificable y es fundamental en la mayoría de los grandes problemas matemáticos. ¡Qué sería de nuestras vidas sin el maravilloso factorial! Quizás existan razones más sutiles pero tan solo la posibilidad de sacar partido a nuestras a inversiones a largo plazo merece que le prestemos atención.

Comencemos por la productoria más sencilla:

S_n=\displaystyle\prod_{k=1}^n 1 = 1 * 1 * 1 * \ldots * 1 = 1.

Multiplicar “n” veces 1, da 1. Para este viaje hacían falta pocas alforjas.

Si en vez de multiplicar 1, multiplicamos otro número cualquiera “p”, ¿qué pasaría? Se admiten apuestas.

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n p = p * p * p * \ldots * p = p^n.

Progresamos adecuadamente, ya sabemos dos cositas más:

\displaystyle\prod_{k=1}^n 1 = 1.

\displaystyle\prod_ {k=1}^n p = p^n.

¿Qué pasaría si en vez de multiplicar desde k = 1, multiplicamos desde k = m? Veámoslo:

\displaystyle\prod_{k=1}^n 1 = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} 1\right) * \left(\displaystyle\prod_{k=m}^n 1\right).

\displaystyle\prod_{k=m}^n 1 = \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n 1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} 1} = 1.

Repitiéndolo para un número cualquiera “p”:

\displaystyle\prod_{k=1}^n p = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} p\right) * \left(\displaystyle\prod_{k=m}^n p\right).

\displaystyle\prod_{k=m}^n p = \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n p}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} p} = \displaystyle\frac{p^n}{p^{m-1}} = p^{n-m+1}.

Multipliquemos ahora los “n” primeros números naturales:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n k = 1 * 2 * 3 * \ldots * n = n!         ¡¡¡Ésto ya lo sabíamos!!!.

Y si sólo multiplicamos los números naturales del “m” al “n”, ¿qué?

S_n = \displaystyle\prod_{k=m}^n k = m * (m+1) * (m+2) * \ldots * n.

\displaystyle\prod_{k=1}^n k = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} k\right)\left(\displaystyle\prod_{k=m}^n k\right).

\displaystyle\prod_{k=m}^n k = \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n k}{\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} k} = \displaystyle\frac{n!}{(m-1)!}.

Ahora que sabemos multiplicar los números naturales, podemos intentar hallar el producto de los “n” primeros números naturales pares:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n (2k) = 2 * 4 * 6 * \ldots * 2n.

\displaystyle\prod_{k=1}^n (2k) = \displaystyle\prod_{k=1}^n 2*\displaystyle\prod_{k=1}^n k = 2^n * (n!).

Generalizando el resultado para “a*k”:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n (a*k) = a * 2a * 3a * \ldots * na.

\displaystyle\prod_{k=1}^n (a*k) = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n a\right)*\left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right) = a^n * n!

¿Lo intentamos “k+b”?

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n (k+b) = (b+1) * (b+2) * (b+3) * \ldots * (b+n).

Multiplicando y dividendo por “b!”, nos quedaría:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n (k+b) = \displaystyle\frac{(b+n)!}{b!}.

Vamos a por nota, “ak+b”:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n (ak+b) = (a+b)*(2a+b)*(3a+b)*\ldots*(na+b).

\displaystyle\prod_{k=1}^n (ak+b) = \displaystyle\prod_{k=1}^n (a*(k+\frac{b}{a})) = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n a\right) * \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n (k+\frac{b}{a})\right).

\displaystyle\prod_{k=1}^n (ak+b) = a^n * \left((1+\frac{b}{a})*(2+\frac{b}{a})*(3+\frac{b}{a})*\ldots*(n+\frac{b}{a})\right).

Utilizando la función gamma (\Gamma):

\displaystyle\prod_{k=1}^n (ak+b) = a^n * \displaystyle\frac{\Gamma(n+\frac{b}{a}+1)}{\Gamma(\frac{b}{a}+1)}.

\text{Si } \displaystyle\frac{b}{a} \text{ es un n\'umero natural, entonces}.

\Gamma(\frac{b}{a}+1) = (\displaystyle\frac{b}{a})!.

\Gamma(n+\frac{b}{a}+1) = (n+\frac{b}{a})!.

\displaystyle\prod_{k=1}^n (ak+b) = a^n * \displaystyle\frac{(n+\frac{b}{a})!}{(\displaystyle\frac{b}{a})!}.

¿Nos atrevemos con los impares?

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n (2k - 1) = 1 * 3 * 5 * \ldots * (2n - 1).

Utilizando la formula general hallada anteriormente:

\displaystyle\prod_{k=1}^n (2k - 1) = 2^n * \displaystyle\frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})} = \displaystyle\frac{2^n}{\sqrt{\pi}} * \Gamma(n+\frac{1}{2}).

¿Tendrá la productoria Propiedad Telescópica?

(A) \displaystyle\prod_{k=1}^n a_k = a_1 * a_2 * a_3 * \ldots * a_n.

(B) \displaystyle\prod_{k=1}^n a_{k+1} = a_2 * a_3 * a_4 * \ldots * a_{n+1}.

(B)/(A)   \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n a_{k+1}}{\displaystyle\prod_{k=1}^n a_k} = \displaystyle\prod_{k=1}^n \left(\displaystyle\frac{a_{k+1}}{a_k}\right) = \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_1}.

¡Qué suerte tenemos, también existe Propiedad Telescópica en la productoria!

¿Pasamos a los cuadrados? Vamos:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n k^2 = 1 * 4 * 9 * \ldots * n^2.

\displaystyle\prod_{k=1}^n k^2 = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right) * \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right) = (n!) * (n!) = (n!)^2.

¿Una de cubos? Vamos a echarla:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n k^3 = 1 * 8 * 27 * \ldots * n^3.

\displaystyle\prod_{k=1}^n k^3 = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right) * \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right) * \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right) = (n!) * (n!) * (n!) = (n!)^3.

Generalizando para un exponente cualquiera “p”:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n k^p = 1 * 2^p * 3^p * \ldots * n^p.

\displaystyle\prod_{k=1}^n k^p = \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right)*\left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right)*\ldots*\left(\displaystyle\prod_{k=1}^n k\right) = (n!)*(n!)*\ldots*(n!)=(n!)^p.

¿Qué tal andamos de geometría? Vayamos a por las progresiones geométricas:

S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n p^k = p * p^2 * p^3 * \ldots * p^n.

\displaystyle\prod_{k=1}^n p^k = p ^{(1+2+3+\ldots+n)} = p^{\frac{n(n+1)}{2}}.

Como parece intuitivo, la sumatoria y la productoria tienen que estar relacionadas de alguna manera:

S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \log a_k = \log a_1 + \log a_2 + \log a_3 + \ldots + \log a_n = \log (a_1*a_2*a_3*\ldots*a_n).

\displaystyle\sum_{k=1}^n \log a_k = \log \left(\displaystyle\prod_{k=1}^n a_k\right).

¿Nos atrevemos con algunos casos prácticos?

(1) S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n \left(\displaystyle\frac{k^2}{k+1}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}*\displaystyle\frac{4}{3}*\displaystyle\frac{9}{4}*\ldots*\displaystyle\frac{n^2}{n+1}.

\displaystyle\prod_{k=1}^n \left(\displaystyle\frac{k^2}{k+1}\right) = \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n (k^2)}{\displaystyle\prod_{k=1}^n (k+1)} = \displaystyle\frac{(n!)^2}{(n+1)!} = \displaystyle\frac{n!}{(n+1)}.

(2) S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n \left(\displaystyle\frac{k^2}{(k+1)^2}\right).

\displaystyle\prod_{k=1}^n \left(\displaystyle\frac{k^2}{(k+1)^2}\right) = \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}   ¡¡¡Propiedad Telescópica!!!.

(3) S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n \left(\displaystyle\frac{2^i * (i+1)}{3}\right).

\displaystyle\prod_{k=1}^n \left(\displaystyle\frac{2^i * (i+1)}{3}\right) = \displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n 2^i \displaystyle\prod_{k=1}^n (i+1)}{\displaystyle\prod_{k=1}^n 3} = \displaystyle\frac{2^{\frac{n(n+1)}{2}}(n+1)!}{3^n}.

(4) S_n = \displaystyle\prod_{k=1}^n p^{k*k!} = p^{(\sum_{k=1}^n k*k!)}.

\displaystyle\sum_{k=1}^n (k*k!) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k+1)k! - k!\right) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \left((k+1)! - k!\right) = (n+1)! - 1.

¡¡Propiedad Telescópica!!!.

\displaystyle\prod_{k=1}^n p^{k*k!} = p^{((n+1)! - 1)}.

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Una respuesta a Multiplicando que es gerundio

  1. Gracias por la información, la estaba buscando.

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