¡Eureka!

Un soleado y romanticón día de primavera, una cursi y empalagosa parejita de enamorados tontea dulcemente sobre una linda barquita en la superficie de un lago.

Nuestro azorado e idealista Casanova no tuvo más remedio que sucumbir ante los delirios de sapiencia de su adorada Dulcinea y contestar con voz trémula y frágil: “El nivel del lago baja ligeramente, cariño mío”.

Veamos porque:

La clave del problema la encontramos en Arquímedes. Este pensador griego, además de ser famoso por correr desnudo por las calles de Siracusa, es conocido por la formulación del principio que lleva su nombre: Principio de Arquímedes o flotabilidad de un cuerpo en un fluido en reposo (aspirina o ácido acetilsalicílico).

“Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado”.

En la situación inicial, antes de tirar la moneda al lago de los deseos:

La barca flota en equilibrio sobre la superficie del lago, experimentando un empuje hacia arriba igual a:

Empuje = V_1 * \rho_a * g.

Siendo:

V_1: \text{volumen de agua desalojada en la situaci\'on inicial}.

\rho_a: \text{densidad del agua}.

g: \text{la aceletaci\'on de la gravedad}.

El peso de la barca es:

P_1 = (M+m)*g.

Siendo:

(M+m): \text{la masa de la barca incluyendo a la moneda}.

g: \text{la aceleraci\'on de la gravedad}.

Al estar en equilibrio, debe de cumplirse:

(M+m)*g = V_1*\rho_a*g.

Por tanto, el volumen de agua deslojada en la situación inicial es:

V_1 = \displaystyle\frac{(M+m)}{\rho_a}.

Una vez que el que la moneda ha sido arrojada al lago:

La barca flota en equilibrio sobre la superficie del lago, experimentando un empuje hacia arriba igual a:

Empuje = V_2 * \rho_a * g.

Siendo:

V_2: \text{volumen de agua desalojada por la barca en la situaci\'on final}.

\rho_a: \text{densidad del agua}.

g: \text{la aceletaci\'on de la gravedad}.

El peso de la barca es:

P_2 = M*g.

Siendo:

M: \text{la masa de la barca sin la moneda}.

g: \text{la aceleraci\'on de la gravedad}.

El volumen de agua desalojada por la barca es:

M*g = V_2*\rho_a*g.

V_2 = \displaystyle\frac{M}{\rho_a}.

La moneda, al tener mayor densidad que el agua, se hunde y el volumen de agua que desaloja es igual al volumen de la moneda:

V_3 = \displaystyle\frac{m}{\rho_m}.

Siendo:

m: \text{la masa de la moneda}.

\rho_m: \text{la densidad de la moneda}.

El volumen total de agua desalojada es:

V_t = V_2 + V_3 = \displaystyle\frac{M}{\rho_a} + \displaystyle\frac{m}{\rho_m}.

Comparando la situación inicial y la final, tenemos:

V_1 - V_t = \displaystyle\frac{(M+m)}{\rho_a} - \left(\displaystyle\frac{M}{\rho_a} + \displaystyle\frac{m}{\rho_m}\right) = \displaystyle\frac{m}{\rho_a}-\displaystyle\frac{m}{\rho_m} = m*\displaystyle\frac{\rho_m-\rho_a}{\rho_a*\rho_m} > 0.

Por tanto, el volumen de agua desalojado en la situación inicial es mayor que el desalojado en la situación final y el nivel del lago desciende.

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