Diseño del depósito

Diseñemos nuestro depósito de agua según las especificaciones que nos indican. Ha de tener una superficie determinada “S” y volumen máximo.

La superficie de un cilindro se calcula como:

S =2 * S_b + S_l.

Siendo:

S_b = \text{Superficie de la base} = \pi r^2.

S_l = \text{Superficie lateral} = 2 * \pi * r * h.

Donde:

r = \text{radio de la base}.

h = \text{altural del cilindro}.

El volumen del cilindro se calculará como:

V = \pi r^2 h.

Tenemos pues una función a maximizar (V), una restricción (S) y dos variables (r y h).

Lo primero será hallar la relación de las dos variables a partir de la restricción:

S = 2*S_b + S_l = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h.

h = \displaystyle\frac{S - 2 \pi r^2}{2 \pi r} = \displaystyle\frac{S}{2 \pi r} - r.

Para hallar el máximo de una función, su derivada primera ha de ser igual a cero y su derivada segunda menor que cero.

V = \pi r^2 h = \pi r^2 * (\displaystyle\frac{S}{2 \pi r} - r ) = \displaystyle\frac{S r}{2} - \pi r^3.

\displaystyle\frac{dV}{dr} = \displaystyle\frac{S}{2} - 3 \pi r^2 = 0.

3 \pi r^2 = \displaystyle\frac{S}{2}.

r^2 = \displaystyle\frac{S}{6 \pi}.

r =\pm \sqrt{\displaystyle\frac{S}{6 \pi}}.

\displaystyle\frac{d^2V}{d^2r} = - 6 \pi r.

r_{max} = + \sqrt{\displaystyle\frac{S}{6 \pi}}.

Sustituyendo el valor de r_max en la función obtendremos el volumen máximo:

V_{max} = \displaystyle\frac{S r_{max}}{2} - \pi r_{max}^3 .

El valor de la altura será:

h_{max} = \displaystyle\frac{S}{2 \pi r_{max}} - r_{max}.

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