Todo es relativo

Una de las adquisiciones más importantes  en la historia del pensamiento humano, la que señala el verdadero punto inicial de la física, se debe a Galileo, al descubrir y usar el método de razonamiento científico. Este científico revolucionario nos enseñó que no siempre debemos creer en las conclusiones intuitivas basadas en la observación inmediata, pues conducen a menudo a equivocaciones.

Corría el siglo XVI y la física del movimiento yacía en la oscuridad gracias a la imponente autoridad de Aristóteles. En su Mecánica pueden leerse afirmaciones tan falsas como la siguiente:

“El cuerpo en movimiento se detiene cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar”.

Es un hecho familiar el que un falso indicio oscurece la investigación y pospone la solución al problema. El método de razonar dictado por la intuición resulta erróneo y conduce a ideas falaces que pueden ser sostenidas durante siglos.

La contribución de Galileo consiste en haber destruido el punto de vista intuitivo, que reemplazó por uno nuevo: el razonamiento científico.

Sus postulados anti-Aristotélicos fueron la base para que un siglo más tarde, otro genio de la historia de la ciencia, Newton, formulara las tres Leyes del movimiento.

De las Leyes del movimiento del Newton se desprenden dos importantísimas consecuencias. La primera es la conservación de la cantidad de movimiento o principio de inercia como caso particular del segundo principio de la Dinámica en ausencia de fuerzas.

\vec{F} = \displaystyle\frac{d\vec{p}}{dt} = 0\\

\vec{p} = m\vec{v} = constante\\

La segunda consecuencia de las Leyes de Newton es el enunciado del principio de relatividad que cambiaría nuestras vidas para siempre.

“Las leyes de la física son las mismas si el observador que las estudia se encuentra en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme”.

Supongamos un gran barco que se aleja del muelle siguiendo una trayectoria rectilínea con velocidad constante “u” y en un mar totalmente en calma.

Un pasajero “A” observa los movimientos que ocurren a bordo, refiriendo sus observaciones a un sistema de referencia formado por tres ejes rectangulares ligados invariablemente al barco. Llamaremos a este sistema ” S’ ” (O’ X’ Y’ Z’). Otro observador “B” en tierra observa los mismos movimientos, pero los refiere a un sistema ” S ” (O X Y Z) ligado a tierra firme.

Es evidente que los sistemas ” S ” y ” S’ ” están moviéndose uno respecto del otro: ” S ” respecto de ” S’ ” con velocidad “-u” y ” S’ ” respecto de ” S ” con velocidad “u”.

Para simplificar el razonamiento imaginemos que los orígenes de ” S ” y ” S’ ” coinciden para t=0.

Las ecuaciones del movimiento para las coordenadas ” x ” y ” x’ ” serán:

x(t) = x'(t) + u*t\\

v_x'(t) = \displaystyle\frac{dx'}{dt}\\

v_x(t) = \displaystyle\frac{dx}{dt} = \displaystyle\frac{dx'}{dt} + u = v_x'(t) + u\\.

a_x'(t) = \displaystyle\frac{dv_x'}{dt}\\.

a_x(t) = \displaystyle\frac{dv_x}{dt} = \displaystyle\frac{dv_x'}{dt} = a_x'(t)\\.

La aceleración es la misma respecto de los dos sistemas de referencia. Según esto un pasajero observando los movimientos que ocurren en el barco no puede averiguar si el buque avanza con movimiento rectilíneo y uniforme o si está parado.

“Por experimentos mecánicos es imposible poner de manifiesto si un sistema está en reposo o si se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme” (Principio de relatividad de Galileo).

A la vista del principio de relatividad, afirmar que un sistema de referencia está en reposo absoluto, es algo que físicamente carece de sentido, ya que dicha afirmación no puede estar sujeta a contraste experimental alguno, lo cual por otra parte nos dice que, como para definir un movimiento absoluto necesitamos de estos sistemas de referencia en reposo absoluto, todos los movimientos en el mundo físico deben ser considerados como movimientos relativos.

En esas andábamos, con nuestros movimientos relativos y nuestra felicidad relativa, cuando hacia el año 1.865 surge la Segunda Revolución Industrial fundamentada en las comunicaciones y en la conversión electromecánica de la energía. La base de esta revolución se cimienta en la Teoría de campos y en las ecuaciones de Maxwell.

James Clerk Maxwell presenta su modelo del campo electromagnético y  proclama la existencia de las ondas electromagnéticas que se propagan, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio.

Las ecuaciones de Maxwell eran de una construcción matemática perfecta y brillaban por su belleza armónica. Pero pronto se le encontró un defecto: no eran invariantes respecto a sistemas de referencia en movimiento, lo cual era incomodo para los físicos de la época.

En un alarde de pura estética científica, Hendrik Lorentz desarrolló las denominadas Transformaciones de Lorentz con la idea de dejar invariante la velocidad de la luz y dar validez a las ecuaciones de Maxwell en sistemas inerciales en movimiento relativo. Estas transformaciones de invarianza elevaron las ecuaciones de Maxwell al culmen de la belleza pero no dejaron de ser una mera argucia matemática. Carecían de sentido físico y pronto hubieran sido condenadas al olvido si…

…Michelson y Morley no hubieran diseñado y llevado a la practica uno de los experimentos más relevantes de la historia del hombre: el experimento Michelson-Morley. Estos dos científicos trataban de medir experimentalmente la velocidad con que se desplazaba nuestro planeta Tierra en el éter (en aquellos tiempos el éter y sus implicaciones llevaban de cabeza a todo buen científico que se preciara).

El resultado fallido del experimento cambiaría por completo nuestra concepción del espacio y del tiempo. El veredicto fue “mortal de necesidad” para la hipótesis del éter en reposo a través del cual se moverían todos los cuerpos. No pudo observarse ninguna dependencia entre la velocidad de la luz y la dirección de su propagación. La velocidad de la luz en el vacío tiene siempre el mismo valor, con independencia del movimiento de la fuente o del observador.

Época de convulsiones científicas, de multitud de datos experimentales, cientos de teorías (no todas válidas),… la revolución estaba en marcha y había que poner orden en este maremágnum de posibilidades.

Desde una pequeña oficina federal de la propiedad intelectual de Suiza en Berna, un desconocido físico alemán sin trabajo muestra interés por todos estos nuevos acontecimientos de la ciencia y se propone desgranar la verdad del Universo. Un tal Albert Einstein desecha todos los postulados conocidos del principio de relatividad de Galileo y comienza de cero.

Adopta dos premisas de trabajo:

1ª – La velocidad de la luz en el vacío es la misma en todos los sistemas de coordenadas en movimiento uniforme relativo.

2ª – Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los sistemas de coordenadas en movimiento uniforme relativo.

Revisemos de nuevo el ejemplo del barco en movimiento uniforme.

Supongamos que sobre la cubierta de la nave, en el instante t=t’=0 (O coincide con O’), se emite un pulso de luz en dirección del eje x’. La velocidad del pulso de luz sera “c” (velocidad de la luz).

Atendiendo a la primera premisa de los postulados de Einstein:

x'(t) = c*t'.

x(t) = c*t.

Ahora hay que buscar la relación de transformación entre las coordenadas ” x ” y “x’ ” donde se conserve la velocidad de la luz:

(A) x = k * (x' + u*t').

(B) x' = k * (x - u*t).

Donde “k” es el factor de transformación.

(A) c*t = k * (c*t' + u*t').

       \displaystyle\frac{c*t}{k} = c*t' + u*t'.

       t' = \displaystyle\frac{c*t}{k * (c + u)}.

(B) c*t' = k * (c*t - u*t).

       t' = \displaystyle\frac{k*t * (c - u)}{c}.

(A) = (B) \displaystyle\frac{c*t}{k * (c + u)} = \displaystyle\frac{k*t * (c - u)}{c}.

                  k^2 = \displaystyle\frac{c^2}{(c + u)*(c - u)} = \displaystyle\frac{c^2}{(c^2 - u^2)}.

                   k = \displaystyle\frac{c}{\sqrt{(c^2 - u^2)}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}.

Sustituyendo en (A) en la relación de tiempos:

t' = \displaystyle\frac{c*t}{k * (c + u)} = \displaystyle\frac{t * \sqrt{(c^2 - u^2)}}{(c + u)} = \sqrt{\displaystyle\frac{1 - \frac{u}{c}}{1 + \frac{u}{c}}}* t.

Sustituyendo en la relación de espacios:

(1) x = k * (x' + u*t') = \displaystyle\frac{c * (x' + u*t')}{\sqrt{(c^2 - u^2)}} = \displaystyle\frac{(x' + u*t')}{\sqrt{(1 - \frac{u^2}{c^2})}}.

(2) x' = k * (x - u*t) = \displaystyle\frac{c * (x - u*t)}{\sqrt{(c^2 - u^2)}} = \displaystyle\frac{(x - u*t)}{\sqrt{(1 - \frac{u^2}{c^2})}}.

x = \displaystyle\frac{x'}{k} + u*t = \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} * x' + u*t.

(1) = (2)

\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} * x' + u*t = \displaystyle\frac{(x' + u*t')}{\sqrt{(1 - \frac{u^2}{c^2})}}.

t = \displaystyle\frac{\frac{u}{c^2}*x' + t'}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}.

Ya tenemos el conjunto de transformaciones de Lorenz:

x = \displaystyle\frac{x'}{k} + u*t = \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} * x' + u*t.

t = \displaystyle\frac{\frac{u}{c^2}*x' + t'}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}.

Las ecuaciones de la velocidad serán:

x = k * (x' + u*t').

dx = k * (dx' + u * dt').

t = k * (t' + \frac{u}{c^2}*x'.

dt = k * (dt' + \frac{u}{c^2}*dx').

v = \displaystyle\frac{dx}{dt} = \displaystyle\frac{k * (dx' + u * dt')}{k * (dt' + \frac{u}{c^2}*dx')} = \displaystyle\frac{v' + u}{1 + \frac{u}{c^2} * v'}.

Obsérvese que:

Si v’ << c entonces v = v’ + u.

Si v’ = c entonces v = c.

El factor k sugiere que las longitudes y los tiempos que dos observadores midan pueden no ser iguales. En realidad puede ocurrir que un observador que vea un objeto en movimiento, obtenga una longitud inferior a la que mediría un observador en reposo (contracción de longitud) y que el tiempo medido entre dos eventos sea inferior para un observador  en reposo que para uno que observe los eventos desde un sistema respecto del cual el punto donde ocurren los eventos está en movimiento (dilatación del tiempo).

La mecánica Newtoniana muere a partir de este momento, pasa a  ser un caso particular de la Teoría de la Relatividad Especial. Las longitudes y los tiempos absolutos de Newton pasan a ser tiempos y distancias diferentes según el observador. Sucesos que son simultáneos para un observador no lo son para otro que esté en movimiento relativo.

La teoría de la relatividad empieza con dos suposiciones, eliminando la transformación clásica (la transformación de Galileo), y se libra de prejuicios arraigados y a menudo repetidos.

El Principio de Relatividad establece que las leyes válidas de la física deben ser invariantes ante transformaciones de Lorentz, esto es que conserven su forma en todo sistema inercial.

Las leyes describen comportamientos mediante ecuaciones que relacionan magnitudes, las cuales pueden tomar valores distintos respecto de diferentes sistemas, es decir ser relativas al sistema de referencia. En consecuencia, el Principio de Relatividad nos brinda una herramienta muy importante para la formulación y/o verificación de leyes.

Según Newton:

\vec{F} = \displaystyle\frac{d\vec{p}}{dt}.

\vec{p} = m\vec{v}.

Estas leyes de la dinámica han de ser invariantes en cualquier sistema de referencia inercial. Veámoslas según la perspectiva relativista.

Sean dos partículas de masa “m” según el siguiente esquema:

En estas condiciones el centro de masas del sistema permanece en reposo y su cantidad de movimiento es nula. Al sistema de referencia en el cual el centro de masas está en reposo se lo denomina Sistema de centro de masa (o inercia).

Para otro observador que se mueva con velocidad v, la partícula 1 está en reposo y el centro de masa posee una velocidad v’CM = -v. A este sistema de referencia en el cual una partícula está en reposo se lo denomina Sistema de Laboratorio. La cantidad de movimiento en el Sistema de Laboratorio es:

p = (m_0 + m') * v_{cm} = m' * v_2\\.

Siendo m’ la masa de la partícula 2, con velocidad v’2 y m0 la masa de la partícula 1, en reposo. Aquí la condición de simetría no corresponde pues las partículas tienen distinto estado de movimiento.

m' * v_2' - m' * v_{cm}' = m_0 * v_{cm}'.

m' = \displaystyle\frac{m_0 * {v_cm}'}{v_2' - v_{cm}'} = \displaystyle\frac{m_0}{\frac{v_2'}{v_{cm}'} - 1}.

Aplicando las transformaciones de las velocidades podemos calcular v’2

v_2' = \displaystyle\frac{-v - v}{1 + \frac{v*v}{c^2}} = \displaystyle\frac{2v_{cm}'}{1 + \frac{v_{cm}'}{c^2}}.

Resolviendo esta ecuación algebraica podemos hallar v’CM en función de v’2. Por tratarse de una ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones, pero una sola con significado físico (pues v’CM < v’2). Con la condición de que el módulo de la velocidad del centro de masa debe ser menor que el de la velocidad de la partícula 2, obtenemos:

v_{cm}' = \displaystyle\frac{1 - \sqrt{1 - \frac{v_2'^2}{c^2}}}{\frac{v_2'}{c^2}}.

Reemplazando en la expresión de la masa y operando obtenemos:

m' = \displaystyle\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v_2`^2}{c^2}}}.

Siendo m0 la masa de la partícula 1, en reposo, y m’ la masa de la partícula 2 en movimiento.

Es muy importante destacar dos cosas:

  1. En la expresión anterior no aparece explícitamente la velocidad relativa entre sistemas de referencia. La masa relativista expresa el valor de la masa en función de la velocidad que posee respecto de cada observador inercial. La inercia de un cuerpo material es relativa al observador y depende de su velocidad.
  2. Hemos supuesto que la masa propia de la partícula m0 es invariante, es decir que toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial. Ello no es arbitrario pues si así no fuera los sistemas inerciales no serían equivalentes ya que habría una forma de distinguirlos.

Finalmente llegamos a la conclusión que la cantidad de movimiento es válida en el marco de la Relatividad Especial si en cualquier sistema de referencia inercial queda determinada por la relación:

p = \displaystyle\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v_2`^2}{c^2}}} * v.

Siendo m0 la masa en reposo y v la velocidad de la partícula en dicho sistema.

Esta definición de cantidad de movimiento es compatible con p=mv sólo si aceptamos que la masa varía con la velocidad. Por ello resulta conveniente, cuando se traten relaciones o leyes que involucren a la masa, indicar a la masa en reposo con el subíndice 0.

Una vez determinada la cantidad de movimiento relativista, aplicamos la segunda ley de Newton para obtener la fuerza:

 F = \displaystyle\frac{dp}{dt}.

El trabajo realizado sobre un cuerpo es:

W = \displaystyle\int_{x_0}^{x_1} F dx = \displaystyle\int_{x_0}^{x_1} \displaystyle\frac {dp}{dt} dx = \displaystyle\int_{x_0}^{x_1} \displaystyle\frac{dx}{dt} dp = \displaystyle\int_{x_0}^{x_1} v dp.

p = k m_0 v = \displaystyle\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} * v.

dp = \displaystyle\frac{m_0}{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}} * dv.

W = \displaystyle\int_{x_0}^{x_1} v dp = \displaystyle\int_{0}^{v_1} \displaystyle\frac{m_0 * v}{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}} * dv.

W = m_0 * \left[\displaystyle\frac{c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\right]_0^{v_1} = m_0 * \displaystyle\frac{c^2}{\sqrt{1 - \frac{v_1^2}{c^2}}} - m_0 * c^2.

W = k m_0 c^2 - m_0 c^2 = m * c^2 - m_0 * c^2 = (m - m_0) * c^2.

Luego la energía de la masa en reposo será:

E_0 = m_o * c^2.

Entonces tenemos que la energía total de un cuerpo másico es:

 E = W + E_0 = m * c^2.

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