El cofre del pirata (problema de los monos y los cocos)

El capitán pirata premió a sus denostados marineros con un cierto número de «catils». Sabemos que el número de «catils» era mayor de 200 y menor 300: 200 < M < 300.

El primer marinero madrugó y con nocturnidad y alevosía se tomó la libertad de adelantarse al almojarife y hacer su propio reparto. Tomó la tercera parte del premio y tiró la moneda que sobraba al mar:

$n_1 = \displaystyle\frac{M - 1}{3}$ .

Quedando en el cofre:

$M_1 = M - 1 - \displaystyle\frac{M - 1}{3} = \displaystyle\frac{2M - 2}{3}$ .

El segundo marinero no fue tan madrugador y tan sólo pudo tomar la tercera parte de lo que quedaba y tirar la moneda que sobraba al mar:

$n_2 = \displaystyle\frac{M_1 - 1}{3} = \displaystyle\frac{2M - 5}{9}$ .

Quedando en el cofre:

$M_2 = M_1 - 1 - \displaystyle\frac{M_1 - 1}{3} = \displaystyle\frac{2M_1 - 2}{3} = \displaystyle\frac{4M - 10}{9}$ .

El tercer marinero pecó de ingenuo y se llevó la peor parte:

$n_3 = \displaystyle\frac{M_2 - 1}{3} = \displaystyle\frac{4M - 19}{27}$ .

Quedando en el cofre:

$M_3 = M_2 - 1 - \displaystyle\frac{M_2 - 1}{3} = \displaystyle\frac{2M_2 - 2}{3} = \displaystyle\frac{8M -38}{27}$ .

Al llegar a puerto, el almojarife tuvo que contentarse con dividir las sobras y quedarse con un exiguo «catils»:

$n_4 = n$ .

Por tanto, las cuentas quedan como siguen:

$M = \displaystyle\frac{M - 1}{3} + \displaystyle\frac{2M - 5}{9} + \displaystyle\frac{4M - 19}{27} + 3n + 4$ .

Utilizando Wolfram Alpha:

M = 81k + 79.

n = 8k + 7.

para todo k entero.

Como sabemos que 200 < M < 300, tenemos:

k > 1,4938271604938271604938271604938

k < 2,7283950617283950617283950617284

Para k = 2, el resultado es el siguiente:

M = 241

n = 23

El primer marinero se lleva de botín:

$b_1 = \displaystyle\frac{M - 1}{3} + n = 80 + 23 = 103$ .

El segundo marinero recoge:

$b_2 = \displaystyle\frac{2M - 5}{9} + n = 53 + 23 = 76$ ,

Y el tercero se queda con:

$b_3 = \displaystyle\frac{4M - 19}{27} + n = 35 + 23 = 58$ .

Podríamos generalizar el problema para el caso de «k» marineros:

El primer marinero se levantaría por la noche y tomaría «a1» monedas:

$a_1 = \displaystyle\frac{M - 1}{k}$ .

El segundo marinero se levantaría de madrugada y tomaría «a2» monedas:

$a_2 = \displaystyle\frac{(k-1) * M - ((k-1) + k)}{k^2}$ .

El tercer marinero tomaría «a3» monedas:

$a_3 = \displaystyle\frac{(k-1)^2 * M - ((k-1)^2 + (k-1)k + k^2)}{k^3}$ .

El cuarto marinero tomaría «a4» monedas:

$a_4 = \displaystyle\frac{(k-1)^3 * M - ((k-1)^3 + (k-1)^2 k + (k-1) k^2 + k^3)}{k^4}$ .

…

El marinero «j» tomaría:

$a_j = \displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M - \sum_{i=1}^{j} \left((k-1)^{j-i}* k^{i-1}\right)}{k^j}$ .

Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{j} ((k-1)^{j-i} * k^{i-1}) = \displaystyle\frac{(k-1)^j}{k} * \displaystyle\sum_{i=1}^{j} (\frac{k}{k-1})^i = \displaystyle\frac{(k-1)^j}{k} * \displaystyle\frac{r - r^{j+1}}{1 - r}$ .

sabiendo que:

$r = \displaystyle\frac{k}{k - 1}$ .

$\displaystyle\sum_{i=1}^{j} ((k-1)^{j-i} * k^{i-1}) = k^j - (k - 1)^j$ .

Por tanto, el marinero j-ésimo cogería «aj» monedas:

$a_j = \displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M - \left(\displaystyle\frac{(k-1)^j}{k} * \displaystyle\frac{r - r^{j+1}}{1 - r}\right)}{k^j} = \displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M - (k^j - (k - 1)^j)}{k^j}$ .

El total repartido ha de ser igual a M:

$M = \displaystyle\sum_{j=1}^k a_j + k * a_{k+1} + (k + 1)$ .

$M = (k + 1) + k * \displaystyle\frac{(k-1)^{ k }M - \left(\displaystyle\frac{(k-1)^{k+1}}{k} * \displaystyle\frac{r - r^{k+2}}{1 - r}\right)}{k^{k+1}} + \displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M - \left(\displaystyle\frac{(k-1)^j}{k} * \displaystyle\frac{r - r^{j+1}}{1 - r}\right)}{k^j}\right)$ .

$M = (k + 1) + k * \displaystyle\frac{(k-1)^{ k }M - (k^{k+1} - (k - 1)^{k+1})}{k^{k+1}} + \displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M - (k^j - (k - 1)^j)}{k^j}\right)$ .

Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:

$\displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M - (k^j - (k - 1)^j)}{k^j}\right) = \displaystyle\frac{M}{k-1} \displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)^j - k + \displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)^j$ .

$\displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M - (k^j - (k - 1)^j)}{k^j}\right) = \left(\displaystyle\frac{M + k - 1}{k-1}\right) \displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)^j - k$ .

$\displaystyle\sum_{j=1}^{k} \left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)^j = \displaystyle\frac{\frac{1}{r} - (\frac{1}{r})^{k+1}}{1 - \frac{1}{r}} = \displaystyle\frac{k-1}{k^k} * (k^k - (k-1)^k)$ .

$\displaystyle\sum_{j=1}^{k}(\displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}M-(k^j-(k-1)^j)}{k^j})=(\frac{M+k-1}{k^k})((k^k-(k-1)^k))-k$ .

Y nuestra ecuación queda de la siguiente forma:

$M=1+k*\displaystyle\frac{(k-1)^{ k }M-(k^{k+1}-(k-1)^{k+1})}{k^{k+1}}+(\frac{M+k-1}{k^k})((k^k-(k-1)^k))$ .

$M=1+k*n+(\displaystyle\frac{M+k-1}{k^k})((k^k-(k-1)^k))$ .

Para k=1, un sólo marinero, obtenemos:

n = -1

Para k=2, dos marineros, obtenemos:

n = (M -7) / 8

Para k=3, tres marineros, obtenemos:

M = 81 t + 79.

n = 8 t + 7.

Para k=4, cuatro marineros, obtenemos:

M = 1024 t + 1021.

n = 81 t + 80.

Para k=5, cinco marineros, obtenemos:

M = 15625 t + 15621.

n = 1024 t + 1023.

Para k=6, seis marineros, obtenemos:

M = 279936 t + 279931.

n = 15625 t + 15624.

etc

¿Cómo cambiaría el problema si la moneda que sobra en que cada reparto no se tirara al mar y se dejara para el siguiente reparto, no sobrando ninguna moneda en el último reparto? Veámoslo:

El primer marinero se levantaría por la noche y tomaría «a1» monedas:

$a_1 = \displaystyle\frac{M - 1}{k}$ .

El segundo marinero se levantaría de madrugada y tomaría «a2» monedas:

$a_2 = \displaystyle\frac{(k-1)(M-1)}{k^2}$ .

El tercer marinero tomaría «a3» monedas:

$a_3 = \displaystyle\frac{(k-1)^2 (M-1)}{k^3}$ .

El cuarto marinero tomaría «a4» monedas:

$a_4 = \displaystyle\frac{(k-1)^3 (M-1)}{k^4}$ .

…

El marinero «j» tomaría:

$a_j = \displaystyle\frac{(k-1)^{j-1} (M-1)}{k^j}$ .

El total repartido ha de ser igual a M:

$M = \displaystyle\sum_{j=1}^k a_j + k * a_{k+1}$ .

$M = k * \displaystyle\frac{(k-1)^{k} (M-1)}{k^{k+1}} + \displaystyle\sum_{j=1}^k a_j$ .

Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:

$\displaystyle\sum_{j=1}^k a_j =\displaystyle\sum_{j=1}^k\displaystyle\frac{(k-1)^{j-1}(M-1)}{k^j}=\displaystyle\frac{M-1}{k^k}(k^k-(k-1)^k)$ .

Y nuestra ecuación queda de la siguiente forma:

$M = k * \displaystyle\frac{(k-1)^{k} (M-1)}{k^{k+1}} + \displaystyle\frac{M-1}{k^k}(k^k-(k-1)^k)$ .

Para k=1, un solo marinero, obtenemos:

n = 1.

Para k=2, dos marineros, obtenemos:

M = 8 t + 5.

n = t + 1.

etc

El problema de los monos y los cocos

Cierto día se reunieron 6 monos para recoger todos los cocos que pudieran de las palmeras que estaban a su alcance. Los iban poniendo en un montón, y como ya era muy tarde cuando acabaron, decidieron repartirlos a la mañana siguiente. Uno de los monos, que desconfiaba de los demás, se levantó de madrugada, y pensando que alguno de los otros los podría robar esa noche, decidió llevarse su parte. Así que hizo 6 montones iguales y le sobró un coco. Se llevó uno de los montones y volvió a juntar el resto. El segundo mono, que también desconfiaba de los demás, también se levantó de madrugada y pensando también que alguno de los otros los podría robar esa noche decidió llevarse su parte. Así que también hizo 6 montones iguales y le sobró un coco. Se llevó uno de los montones y volvió a juntar el resto. Así pensaron e hicieron el resto de los monos. La única diferencia fue que al sexto mono no le sobró ningún coco al hacer los seis montones. La pregunta es la siguiente: ¿Cuál es el mínimo número de cocos que habían recogido?

Generalicemos el problema para «k» monos.

El primer mono madrugó y tomo su parte:

$a_1 = \displaystyle\frac{M-1}{k}$ .

El segundo mono se levantó de madrugada y tomo su parte:

$a_2 = \displaystyle\frac{(k-1)(M-1)}{k^2}$ .

El mono «j» se levantó de madrugada y tomó su parte:

$a_j = \displaystyle\frac{(k-1)^{j-1} (M-1)}{k^j}$ .

El total repartido ha de ser igual a M:

$M = \displaystyle\sum_{j=1}^{k-1} a_j + k * a_{k}$ .

$M = \displaystyle\sum_{j=1}^{k-1} \left(\displaystyle\frac{(k-1)^{j-1} (M-1)}{k^j}\right) + kn$ .

Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:

$\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1} \displaystyle\frac{(k-1)^{j-1} (M-1)}{k^j}=\displaystyle\frac{M-1}{k^{k-1}}(k^{k-1}-(k-1)^{k-1})$ .

Y nuestra ecuación queda de la siguiente forma:

$M = \displaystyle\frac{M-1}{k^{k-1}}(k^{k-1}-(k-1)^{k-1}) + kn$ .

Para el caso k=2, obtenemos:

M = 4 t + 3.

n = k + 1.

Para el caso k=3, obtenemos:

M = 27 t + 19.

n = 4 t + 3.

etc

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