El capitán pirata premió a sus denostados marineros con un cierto número de «catils». Sabemos que el número de «catils» era mayor de 200 y menor 300: 200 < M < 300.
El primer marinero madrugó y con nocturnidad y alevosía se tomó la libertad de adelantarse al almojarife y hacer su propio reparto. Tomó la tercera parte del premio y tiró la moneda que sobraba al mar:
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Quedando en el cofre:
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El segundo marinero no fue tan madrugador y tan sólo pudo tomar la tercera parte de lo que quedaba y tirar la moneda que sobraba al mar:
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Quedando en el cofre:
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El tercer marinero pecó de ingenuo y se llevó la peor parte:
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Quedando en el cofre:
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Al llegar a puerto, el almojarife tuvo que contentarse con dividir las sobras y quedarse con un exiguo «catils»:
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Por tanto, las cuentas quedan como siguen:
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M = 81k + 79.
n = 8k + 7.
para todo k entero.
Como sabemos que 200 < M < 300, tenemos:
k > 1,4938271604938271604938271604938
k < 2,7283950617283950617283950617284
Para k = 2, el resultado es el siguiente:
M = 241
n = 23
El primer marinero se lleva de botín:
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El segundo marinero recoge:
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Y el tercero se queda con:
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Podríamos generalizar el problema para el caso de «k» marineros:
El primer marinero se levantaría por la noche y tomaría «a1» monedas:
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El segundo marinero se levantaría de madrugada y tomaría «a2» monedas:
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El tercer marinero tomaría «a3» monedas:
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El cuarto marinero tomaría «a4» monedas:
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…
El marinero «j» tomaría:
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Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:
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sabiendo que:
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Por tanto, el marinero j-ésimo cogería «aj» monedas:
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El total repartido ha de ser igual a M:
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Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:
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Y nuestra ecuación queda de la siguiente forma:
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Para k=1, un sólo marinero, obtenemos:
n = -1
Para k=2, dos marineros, obtenemos:
n = (M -7) / 8
Para k=3, tres marineros, obtenemos:
M = 81 t + 79.
n = 8 t + 7.
Para k=4, cuatro marineros, obtenemos:
M = 1024 t + 1021.
n = 81 t + 80.
Para k=5, cinco marineros, obtenemos:
M = 15625 t + 15621.
n = 1024 t + 1023.
Para k=6, seis marineros, obtenemos:
M = 279936 t + 279931.
n = 15625 t + 15624.
etc
etc
etc
¿Cómo cambiaría el problema si la moneda que sobra en que cada reparto no se tirara al mar y se dejara para el siguiente reparto, no sobrando ninguna moneda en el último reparto? Veámoslo:
El primer marinero se levantaría por la noche y tomaría «a1» monedas:
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El segundo marinero se levantaría de madrugada y tomaría «a2» monedas:
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El tercer marinero tomaría «a3» monedas:
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El cuarto marinero tomaría «a4» monedas:
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…
El marinero «j» tomaría:
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El total repartido ha de ser igual a M:
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Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:
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Y nuestra ecuación queda de la siguiente forma:
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Para k=1, un solo marinero, obtenemos:
n = 1.
Para k=2, dos marineros, obtenemos:
M = 8 t + 5.
n = t + 1.
etc
etc
etc
El problema de los monos y los cocos
Cierto día se reunieron 6 monos para recoger todos los cocos que pudieran de las palmeras que estaban a su alcance. Los iban poniendo en un montón, y como ya era muy tarde cuando acabaron, decidieron repartirlos a la mañana siguiente. Uno de los monos, que desconfiaba de los demás, se levantó de madrugada, y pensando que alguno de los otros los podría robar esa noche, decidió llevarse su parte. Así que hizo 6 montones iguales y le sobró un coco. Se llevó uno de los montones y volvió a juntar el resto. El segundo mono, que también desconfiaba de los demás, también se levantó de madrugada y pensando también que alguno de los otros los podría robar esa noche decidió llevarse su parte. Así que también hizo 6 montones iguales y le sobró un coco. Se llevó uno de los montones y volvió a juntar el resto. Así pensaron e hicieron el resto de los monos. La única diferencia fue que al sexto mono no le sobró ningún coco al hacer los seis montones. La pregunta es la siguiente: ¿Cuál es el mínimo número de cocos que habían recogido?
Generalicemos el problema para «k» monos.
El primer mono madrugó y tomo su parte:
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El segundo mono se levantó de madrugada y tomo su parte:
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El mono «j» se levantó de madrugada y tomó su parte:
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El total repartido ha de ser igual a M:
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Calculemos la sumatoria utilizando «Sumando que es gerundio«:
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Y nuestra ecuación queda de la siguiente forma:
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Para el caso k=2, obtenemos:
M = 4 t + 3.
n = k + 1.
Para el caso k=3, obtenemos:
M = 27 t + 19.
n = 4 t + 3.
etc
etc
etc