Y la caja elegida es…

puertas_01El problema de las tres cajas es más conocido como el problema de las tres puertas o problema de Monty Hall.

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado en el concurso de la televisión estadounidense “Let’s Make a Deal” (Hagamos un trato), famoso entre 1963 y 1986. Su nombre proviene del presentador, Monty Hall.

puertas_03En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe donde esta el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

¿Cúal sería la opción correcta?

  1. Quedarse con la puerta inicial.
  2. Cambiar a la otra puerta.
  3. Es irrelevante cambiar o no cambiar.

A primera vista parece obvio que da igual (opción 3). La intuición nos dice que ahora, quitando una puerta sin premio, la puerta que nosotros escogimos tiene un 50 % de tener una cabra y por tanto da igual cambiar que no hacerlo. Pero no sería una paradoja o problema si fuera tan trivial, ¿verdad?.

EXPLICACIÓN GRÁFICA

Desarrollamos todas las posibilidades, es la forma más fácil de entenderlo pero a menudo también la más pesada.

puertas_02

Si miramos las posibilidades de éxito de cambiar o no cambiar, vemos que si no cambiamos tenemos 1/3 y si cambiamos tenemos 2/3. Aún resulta dificil de entender pero resulta indiscutible que es así.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Lo explicaremos matemáticamente, con probabilidades condicionadas. Ésta es la forma más rigurosa pero probablemente la que peor se entienda.

puertas_04

Definimos cuidadosamente los siguientes sucesos. Asumimos que hay dos tipos de jugador, los que nunca cambian de puerta y los que cambian siempre; en este caso la pregunta se limita a ver que tipo de jugador tiene la mayor probabilidad de ganar el coche.

Suceso     Descripción
A               El jugador selecciona la puerta que contiene el coche en su selección inicial.
B               El jugador selecciona la puerta que contiene una cabra en su selección inicial.
G               El jugador gana el coche.
Estamos interesados en calcular P(G) para cada tipo de jugador.

Para calcular P(G), basta con notar que G=(G ∩ A) U (G ∩ B) ya que A ∩ B = Ø y A U B = Ω (esto es equivalente a decir que {A,B} es una partición de Ω)

P(G)=P((G ∩ A) U (G ∩ B)) = P(G ∩ A) + P(G ∩ B) = P(G/A)P(A) + P(G/B)P(B)

En cualquier caso, dado que no tenemos ninguna razón para pensar lo contrario, diremos que P(A) = 1/3 y P(B) = 2/3 pues hay un coche y dos cabras.

Ahora debemos definir que tipo de jugador estamos estudiando.

Jugador que nunca cambia.
En este caso P(G|A) = 1 y P(G|B) = 0 pues el jugador se queda con su selección inicial.
Por lo tanto P(G) = 1/3.

Jugador que siempre se cambia.
En este caso P(G|A) = 0 y P(G|B) = 1 pues el jugador se cambia a la única puerta cerrada que queda (y sabemos que como el presentador sabe donde esta el coche, siempre mostrará una cabra).

Por lo tanto P(G) = 2/3.

Claramente la mejor estrategia es cambiar siempre, pues la probabilidad efectiva de ganar es el doble de la correspondiente al jugador que no cambia nunca.

Una vuelta de tuerca al problema

Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: ¡pero esto es absurdo!

Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro…

¿Qué sucede aquí?

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