Solución al Caballo viejo busca follaje tierno

Solución al problema Caballo viejo busca follaje tierno.

Plasmaremos nuestro problema de forma gráfica de modo que nos sea más fácil intuir la solución. Primero trazaremos los radios de las circunferencias que unen los centros con los puntos de tangencia. Como se observa en la figura los seis radios que hemos trazado forman un triángulo que contiene en su interior el área que queremos calcular.

Los lados del triángulo formado por los radios de las circunferencias miden L=2R, y al ser los tres lados iguales nuestro triángulo es un triángulo equilátero.

Por tanto, para calcular el área de follaje tierno que se come nuestro viejo caballo (área de color rojo) hay que calcular el área del triángulo equilátero y restarle el área de los tres sectores de circunferencia pintados con los colores azul, amarillo y verde.

El procedimiento que seguiremos para calcular el área que buscamos será el siguiente:

  1. Calcularemos el área del triángulo equilátero formado por los seis radios A_1.
  2. Calcularemos el área de los sectores de circunferencia formados por los seis radios A_2, A_3, A_4.
  3. Restaremos al área del triángulo equilatero las áreas de los tres sectores de circunferencia A=A_1-A_2-A_3-A_4.

1. Calcularemos el área del triángulo equilátero formado por los seis radios A_1.

A_1=\displaystyle\frac{1}{2}*Base*Altura

donde

Base=2R.

Altura=h.

Utilizando el Teorema de Pitágoras:

(2R)^2=h^2+R^2   ->   h^2=(2R)^2-R^2=3R^2   ->   h=\sqrt{3}R.

A_1=\displaystyle\frac{1}{2}*Base*Altura=\displaystyle\frac{1}{2}*2R*\sqrt{3}R=\sqrt{3}R^2.

2. Calcularemos el área de los sectores de circunferencia formados por los seis radios A_2, A_3, A_4.

Los tres sectores de circunferencia son idénticos por lo que nos bastará con calcular uno de ellos. El área de un sector de circunferencia es:

A_2=A_3=A_4=\pi*R^2*\displaystyle\frac{\beta}{2\pi}

Al ser un triángulo equilatero sus ángulos son iguales y de valor \beta=\displaystyle\frac{\pi}{3} por tanto:

A_2=A_3=A_4=\pi*R^2*\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi}{3}}{2\pi}=\displaystyle\frac{\pi*R^2}{6}

3. Restaremos al área del triángulo equilatero las áreas de los tres sectores de circunferencia A=A_1-A_2-A_3-A_4.

A=A_1-A_2-A_3-A_4=A_1-3*A_2=\sqrt{3}R^2-3*\displaystyle\frac{\pi*R^2}{6}=R^2*(\sqrt{3}-\displaystyle\frac{\pi}{2})

Sustituyendo R por su valor, 10 cm, y utilizando WolfamAlpha  obtenemos:

A=16.1254*cm^2.

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2 respuestas a Solución al Caballo viejo busca follaje tierno

  1. camilo valderrama dijo:

    el perímetro sería = perímetro del triangulo – menos perímetro de las partes de circunferencias ?

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