Solución al área de la Luna

Observando detenidamente nuestro problema podemos ver que el área de la Luna que queremos calcular se puede descomponer en dos segmentos circulares y una parte del área interior del cuadro.

Por tanto, procederemos de la siguiente forma:

Calcularemos el área de los dos segmentos circulares $\displaystyle{A_1,A_2}$ .
Calcularemos el área del cuadrado $\displaystyle{C_1}$ y le restaremos el área del cuarto de círculo interior $\displaystyle{C_2}$ .
El área total será: $\displaystyle{A=A_1+A_2+C_1-C_2}$ .

1. Calcularemos el área de los dos segmentos circulares $\displaystyle{A_1,A_2}$ .

Área del cuadrado:

$C_1=a^2$ .

Área del círculo: $\displaystyle(\pi*R^2)$ .

Usando el teorema de Pitágoras:

$R^2=\displaystyle(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2=\displaystyle\frac{a^2}{2}$ .

$A_1+A_2=\displaystyle\frac{\pi*\displaystyle\frac{a^2}{2}-a^2}{2}$ .

2. Calcularemos el área del cuadrado $\displaystyle{C_1}$ y le restaremos el área del cuarto de círculo interior $\displaystyle{C_2}$ .

Área del cuadrado:

$C_1=a^2$ .

Área cuarto círculo interior:

$C_2=\displaystyle\frac{\pi*a^2}{4}$ .

3. El área total será: $\displaystyle{A=A_1+A_2+C_1-C_2}$ .

$\displaystyle{A=A_1+A_2+C_1-C_2}=\displaystyle\frac{\pi*\displaystyle\frac{a^2}{2}-a^2}{2}+a^2-\displaystyle\frac{\pi*a^2}{4}=\displaystyle\frac{a^2}{2}$ .

Observese que el área buscado (área rayada) es la mitad del área del cuadrado.

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