Solución al área de la Luna

Observando detenidamente nuestro problema podemos ver que el área de la Luna que queremos calcular se puede descomponer en dos segmentos circulares y una parte del área interior del cuadro.

Por tanto, procederemos de la siguiente forma:

  1. Calcularemos el área de los dos segmentos circulares \displaystyle{A_1,A_2}.
  2. Calcularemos el área del cuadrado \displaystyle{C_1} y le restaremos el área del cuarto de círculo interior \displaystyle{C_2}.
  3. El área total será: \displaystyle{A=A_1+A_2+C_1-C_2}.

1. Calcularemos el área de los dos segmentos circulares \displaystyle{A_1,A_2}.

Área del cuadrado:

C_1=a^2.

Área del círculo: \displaystyle(\pi*R^2).

Usando el teorema de Pitágoras:

R^2=\displaystyle(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2=\displaystyle\frac{a^2}{2}.

A_1+A_2=\displaystyle\frac{\pi*\displaystyle\frac{a^2}{2}-a^2}{2}.

2. Calcularemos el área del cuadrado \displaystyle{C_1} y le restaremos el área del cuarto de círculo interior \displaystyle{C_2}.

Área del cuadrado:

C_1=a^2.

Área cuarto círculo interior:

C_2=\displaystyle\frac{\pi*a^2}{4}.

3. El área total será: \displaystyle{A=A_1+A_2+C_1-C_2}.

\displaystyle{A=A_1+A_2+C_1-C_2}=\displaystyle\frac{\pi*\displaystyle\frac{a^2}{2}-a^2}{2}+a^2-\displaystyle\frac{\pi*a^2}{4}=\displaystyle\frac{a^2}{2}.

Observese que el área buscado (área rayada) es la mitad del área del cuadrado.

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