Geometría 2D (I): la circunferencia.

Definición.

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante de un punto cualquiera ‘P’ al centro  se llama radio.

Ecuación

Sea un sistema de referencia ortonormal (O, \vec{i}, \vec{j}).

Sea ‘C’ (a, b) el centro de la circunferencia de radio ‘r’.

Sea ‘P’ (x, y) un punto genérico de ella.

La ecuación geométrica es:

d(C, P)=\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}=r.

(x-a)^2+(y-a)^2=r^2.

Área del círculo

Sea la circunferencia con centro en el origen de referencia  (x)^2+(y)^2=r^2.

De donde:

y=\sqrt{r^2-x^2}.

Por simetría:

S=4\int_0^{r}y \: dx=4\int_0^{r}\sqrt{r^2-x^2} \: dx.

Hacemos el siguiente cambio de variable:

x=\sin{(t)}.

dx=r\cos{(t)}dt.

Para \: x=0 \: \: tenemos \: t=0.

Para \: x=r \: \: tenemos \: t=\displaystyle\frac{\pi}{2}.

Sustituyendo:

S=4\int_0^{r}\sqrt{r^2-x^2} \: dx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^2-r^2\sin^2{(t)}} \:r\cos{(t)}\: dt.

S=4 \:r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2{(t)}} \:\cos{(t)}\: dt.

Sabemos que:

\cos^2(t)+\sin^2(t)=1.

\cos^2(t)=1-\sin^2(t).

\cos(t)=\sqrt{1-\sin^2(t)}.

Sustiuyendo en nuestra ecuación:

S=4 \:r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(t) \:\cos{(t)}\: dt=4 \:r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \:\cos^2{(t)}\: dt.

Utilizando las razones trigonométricas del angulo doble:

\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t)=\cos^2(t)+\cos^2(t)-1=2\cos^2(t)-1.

\cos^2(t)=\displaystyle\frac{1+\cos(2t)}{2}.

Obtenemos:

S=4 \:r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \:\cos^2{(t)}\: dt=4 \:r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \:\frac{1+\cos{(2t)}}{2}\: dt.

S=2{r^2}\left[t-\displaystyle\frac{\sin(2t)}{2}\right]_0^{\pi/2}.

S=2{r^2}\left[\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{\sin(\pi)}{2}-0+\displaystyle\frac{\sin(0)}{2}\right]=\pi{r^2}.

Longitud de la circunferencia

Por simetría:

S=4\int_0^{r} \sqrt{1+(y\:')^2} \: dx.

Hallamos la deriva al cuadrado de nuestra función:

y=\sqrt{r^2-x^2}.

y\:'=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}.

(y\:')^2=\displaystyle\frac{x^2}{{r^2-x^2}}.

Sustituyendo:

S=4\int_0^{r} \sqrt{1+(y\:')^2} \: dx=4\int_0^{r} \sqrt{1+\displaystyle\frac{x^2}{{r^2-x^2}}} \: dx=4r\int_0^{r}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{r^2-x^2} \: dx}.

S=4r\left[\arcsin{\displaystyle\frac{x}{r}}\right]_0^r=2 \: \pi \: r.

Longitud arco circunferencia

L=2 \pi r \displaystyle\frac{\theta}{2 \pi}=r \theta.

Área sector circular

A=\pi r^2 \displaystyle\frac{\theta}{2 \pi}=\displaystyle\frac{r^2 \theta}{2}.

Área del segmento circular

A=\pi R^2\displaystyle\frac{\theta}{2 \pi}-\displaystyle\frac{R^2 \sin{\theta}}{2}.

A=\displaystyle\frac{R^2}{2}(\theta-\sin{\theta}).

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Una respuesta a Geometría 2D (I): la circunferencia.

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